මීට පෙර ලිපියෙන් කිව්වා වගේ අද ලියන්න යන්නේ ඡායාරූප කලාවේ භාවිතා වන තවත් එක සැකසුම් නියමයක් (Composition Rule) ගැනයි.  ඒ තමයි Golden Spiral කියන එක.  මෙහි ගණිතමය පැහැදිලි කිරීමට නම් ටිකක් විතර ගැඹුරු ගණිත සංකල්ප වගයක් ඕනේ වෙනවා. කොහොම උනත් වැඩේ සම්පූර්ණ වෙන්න ඒකත් ඇතුලත් කරනවා.

Golden Spiral එක පහත (1) න් දැක්වෙන ඝාතීය ශ්‍රිතයෙන් දක්වන්න පුළුවනි. මෙහි a යනු ඕනෑම ධන තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වන අතර b කියන්නේ (2) න් දැක්වෙන තාත්වික නියත අගයයි.

r = ae …………………. (1)

ebπ/2 = φ ……………… (2)

(2) වෙනි සමීකරණයෙන් කියන්නේ කෝණයේ අගය රේඩියන් π/2 වන විට [අංශක වලින් නම් 900 ක් වන විට වල ebπ/2 අගය φ ට සමාන වන පරිදි තියෙන්න ඕනේ කියලයි. φ ගැන කලින් ලිපියේ කිව්වනේ. මෙහි අගය (1+√5)/2 යි. ආසන්න වශයෙන් කිව්වොත් 1.61803398874989… ක් වෙනවා.  දැන් b වල අගය හොයලා බලමු.

(2) න්

ebπ/2 = φ දැන් දෙපසම ස්වභාවික ලඝුගණකය [ln] ගත්තම,

b= ln(φ)/(π/2) => b=0.3063355

a=1 වන විට -2π සහ අතර පරාසයේ මෙම ධ්‍රැවීය සමීකරණය [Polar Equation] ප්‍රස්තාරගත කළාම පහත ආකරයේ එකක් තමයි ලැබෙන්නේ.

θ වල අගය, π/2 හි ගුණාකාරවලදී [එහෙමත් නැත්නම් ප්‍රස්තාරය X අක්ෂය හෝ Y අක්ෂය කැපෙන තැන් වලදී] අගයන් මෙහෙමයි ඒන්නේ.

eb(-2π) ,eb(-3π/2) ,eb(-π) ,eb(-π/2) ,eb(0) ,ebπ/2 ,e , eb3π/2 ,eb2π

දර්ශකයේ පද පොඩ්ඩක් එහා මෙහා කරලා මේ විදියට ලියන්න පුළුවනි.

e-b(π/2)4 , e-b(π/2)3, e-b(π/2)2 , e-b(π/2)1 ,eb(0) , eb(π/2)1, eb(π/2)2 , eb(π/2)3, eb(π/2)4

අපි කලින් දෙවෙනි සමීකරණයෙන් දැක්කා ebπ/2 = φ කියලා. ඒ අගය ආදේශ කළහම මෙහෙම තමයි ශ්‍රිතයේ අගයන් එන්නේ.

Φ-4, Φ-3, Φ-2, Φ-1, Φ0=1, Φ1, Φ2, Φ3, Φ4

φ ආසන්න වශයෙන් 1.618 ආදේශ කළහම මේ අගයන් ටික ගන්න පුළුවන්.

0.146, 0.236, 0.381, 0.618, 1, 1.618, 2, 618, 4.236, 6.853

මේ අගයන් ටිකෙන් තමයි ඉහත ප්‍රස්තාරයේ අක්ෂ කැපිලා තියෙන්නේ.

මේ වක්‍රයට ඉතාම ආසන්න වක්‍රයක් Fibonacci Sequence එකෙන් ලබා ගන්න පුළුවනි.  Fibonacci Sequence එක කියන්නේ මෙන්න මේකයි.

0,1,1,2,3,5,8,13,21, ………………………

0 න් සහ 1 න් පටන් ගන්න මේ ශ්‍රේණියේ අනෙකුත් පද හැදිලා තියෙන්නේ ඊට කලින් පද දෙකේ එකතුවෙන්. මතකනේ මේකට අදාළව ලංකාවේ තියෙන අප්‍රකට ස්මාරකයක් ගැනත් කලින් ලිපියකින් ලිව්වා.  අනන්තයට යද්දී මෙම ශ්‍රේණියේ පද දෙකක් අතර අනුපාතය φ ට අභිසාරී වෙනවා කියලා ඔප්පු කරන්න පුළුවනි. හැබැයි මේකට නම් සීමා [Limits] සම්බන්ධ ගැඹුරු දැනීමක් ඕනේ නිසා මෙම ලිපියේ අන්තර්ගත කරන්නේ නෑ. මේ ශ්‍රේණියේ බිංදුව අමතක කරලා 1,1,2,3,5,8,13,21 එන මේ පද ටික ගනිමු.  දැන් මෙහි එක එක ඉලක්කම අදාළව සමචතුරශ්‍රාකාර හැඩ ඇඳලා පහත විදියට අසුරන්න පුළුවන්. මෙහෙම කරන්න පුළුවන් එක පදයක් ඊට කලින් පද දෙකේ එකතුවට සමාන නිසා විතරයි.

ඊට පස්සේ ඒ සමචතුරස්‍රවල විකර්ණ හරහා රූපයේ දැක්වෙන ව්දියට චාප අඳින්න පුළුවන්. මෙහෙම ලැබෙන වක්‍රය Golden Spiral එකට තරමක් දුරට ආසන්නයි.

දිග කතාන්දරයකින් පස්සේ දැන් මෙය ඡායාරූපකරණයට අදාළ වෙන තැනට එමු. මෙම රීතියෙන් කියන්නේ කිසියම් ඡායරූපයක තිබෙන වක්‍ර රටා Golden Spiral එකකට අනුගත කරන්න කියලායි. උදාහරණයක් වශයෙන් පහත ඡායාරූපය බලන්න.

ආරම්භක කුඩා කොටුව තමන්ට අවශ්‍ය ප්‍රමාණයකින් පටන් ගන්න පුළුවන්. මේ විදියට ඡායරූප crop කරන්න ටිකක් විතර අමාරුයි. මෙම ඡායාරූපය හදන්න සංචාරකයා භාවිතා කළේ කියන PhotoImpact X3 පරිඝනක මෘදුකාංගයේ Trial Version එකකුයි. මෙහි Golden Spiral එකේ ආකරයට crop කරන්න පුළුවන් රාමුවක් [Template] තියෙනවා.  එච්චරම සාර්ථකම උදාහරණයක් නම් නෙවෙයි. අනික් සමචතුරස්‍රවලටත් ගැලපෙන වක්‍ර තිබුණා නම් තමයි හොඳ. අන්තර්ජාලයේ වඩාත් නිවැරදි උදාහරණ ඕනා තරම් සොයා ගන්න පුළුවන්.

Advertisements