ඡායාරූපයක ජාලරේඛය

1 Comment

ජාලරේඛය සහ සංඛ්‍යාත බහුඅස්‍රය ……………, සාමාන්‍ය පෙළ ගණිත පාඩම් වල තිබ්බ කම්මැලිම පාඩම.  උසස් පෙළට ආවා කියලවත් ඕකෙන් ගැලවීමක් තිබුණේ නෑ. ඇයි ‘සංඛ්‍යානය සහ සම්භාවිතාව’ කියලා පාඩමක් තිබ්බනේ. කැල්කියුලේටරයක් නැතිව සංඛ්‍යානයේ එන සම්මත අපගමණය, විචලතාවය හොයන එක ලේසි පහසු වැඩක්ද? අර ගොනා පස්සේ එන කරත්ත රෝදේ වගේ විශ්ව විද්‍යාලයේදිවත් සංඛ්‍යානයෙන් ගැලවීමක් තිබ්බේ නෑ. හැබැයි විශ්ව විද්‍යාලයේදි නම් සංඛ්‍යානයේ තිබ්බ කම්මැලි ගතිය නැතුව ගියා. කැල්කියුලේටර් භාවිතා කරන්න දුන්න නිසා වෙන්න ඇති.

මේත් එක්කම සම්භාවිතාවය ගැන සංචාරකයාට මතක් වෙන පුංචි කතාවකුත් තියෙනවා, නොලියාම බැරි. ඒකෙන් කියන්නේ ගණිතඥයින් තුන් දෙනෙකුට සම්භාවිතාවය ගැටළුවක් දීලා තනි තනිව හදන්න කියලා ටික වෙලාවකින් පස්සේ උත්තර ඇහුවාම උත්තර හතරක් තියෙනවලු. ඒ තමයි තුන්දෙනාගේ උත්තර තුන සහ හරි උත්තරය.  මේ කතාවම වෙනත් ක්ෂේත්‍රයින් සම්බන්ධයෙනුත් සමහරු අහලා ඇති. සංචාරකයා යාළුවොත් එක්ක සම්භාවිතාව ගණන් හදන කාලේ නම් එක ගාණකට උත්තර 10ක් 15ක් තිබ්බා. ඇයි එක්කෙනෙකුට උත්තර 3-4ක් තිබ්බනේ.

ඒ කොහොම හරි ‘සංඛ්‍යානය සහ සම්භාවිතාවය’ කියන්නේ ගණිතයේ බහුලව ප්‍රායෝගිකව භාවිතා වන අංශයක්. මේ ලියන්න යන්නේ සංඛ්‍යානයේ එන සංකල්පයක් වන ජාලරේඛය ඡායාරූපකරණයේදී භාවිතා වන හැටියක් ගැන කියන්නයි.

අපි ඩිජිටල් කැමරාවකින් ගන්නා වර්ණ ඡායාරූපයක් පරිඝනකයේ නිරූපණය කරන්නේ Pixel වලින් නේ. සාමාන්‍ය තත්ව යටතේ එක Pixel එකක් නිරූපණය කරන්නේ bits 24 කින්. 24 ක් එන්නේ රතු, කොළ සහ නිල් කියන වර්ණ තුනට [RGB Colour Model] bits 8ක් ගානේ වෙන් කළහම. එතකොට එක වර්ණයක් නිරූපණය කරන්න තෝරා ගන්න පුළුවන් අගයන් 256 [28] ක් තියෙනවා.  උදාහරණයක් විදියට එක Pixel එකක අගය (100,150,175) විදියට දක්වන්න පුළුවන්.  ඔක්කොම පාට ටික එකතු උනාම සුදු පාට හැදෙනවා කියල පොඩි කාලේ අහලා තියෙනවානේ. එතකොට වල R,G සහ B වල උපරිම අගයන් දැම්මාම (255,255,255) සුදු පාට ලැබෙන අතර අවම අගයන් දැම්මාම කළු පාට (0,0,0) ලැබෙනවා.

ජාලරේඛය අඳින්න එක එක Pixel එකේ Luminance [දීප්තතාවය] එක හොයා ගන්න ඕනෑ.  ඒක පහත සමීකරණයෙන් ගන්න පුළුවන්.  මේ විදියට දීප්තතාවය ගණනය කරන සමීකරණ කීපයක්ම තිබෙනවා අවස්ථාව අනුව වෙනස් වෙන. සංචාරකයා මේ දක්වලා තියෙන්නේ වඩාත්ම වැඩියෙන් භාවිතා වන සමීකරණයයි.

Y = (0.299 * R) + (0.587 * G) + (0.114 * B)

හොඳට බලන්න මේ සමීකරණයෙත් සම්පූර්ණයෙන්ම සුදු පාට Pixel එකකට 255ක දීප්තතාවයක් ලැබෙනවා.  ඒ වගේම සම්පූර්ණයෙන්ම කළු පාට Pixel එකකට දීප්තතාවය 0ක් වෙනවා.

Y = (0.299 * 255) + (0.587 * 255) + (0.114 * 255) =255

Y = (0.299 * 0) + (0.587 * 0) + (0.114 * 0) =0

දැන් ඡාලරේඛය අඳින්නේ එක එක දීප්තතා අගය [0 සිට 225 ට] X අක්ෂයටත් එම දීප්තතා අගය තියෙන Pixel ගාණ Y අක්ෂයටත් අරගෙන.  උදාහරණයක් විදියට පහත ඡායාරූපය  බලන්න. ඡාලරේඛයේ දකුණු පසට වෙන්න වැඩියෙන් expose වුණු තැනුත් වම් පසට වෙන්න අඩුවෙන් expose වුණු තැනුත් මැදින් නිවැරදිව expose වුණු තැනුත් පෙන්නුම් කරනවා. ඊට අමතරව ඡාලරේඛයේ තීරුවල උස එකතු කළහම ඡායාරූපයේ සම්පූර්ණ Pixel ගණන හම්බ වෙනවා.

ඊළඟට බලමු කොහොමද ප්‍රායෝගික ඡායාරූපකරණයේදී ජාලරේඛය වැදගත් වෙන්නේ කියලා. සාමාන්‍ය සම්මතයේ හැටියට සමබරව expose වුණු ඡායාරූපයක් තමයි හොඳ ඡායාරූපයක් හැටියට සළකන්නේ. එහෙම ඡායාරූපයක ජාලරේඛයේ තීරු විසිරී පවතින්නේ මැද හරියෙන් විතරයි. අනික් කාරණය තමයි ජාලරේඛය පැතිරී පවතින තරමට ඡායාරූපයේ contrast එක වැඩි වෙනවා කියන එක. මේක ගැන දැන ගන්න තියෙන හොඳම ක්‍රමය තමයි Photoshop වල ඡායාරූපයේ එක එක වෙනස්කම් කරමින් ජාලරේඛය නිරීක්ෂණය කරන එක.  හැබයි සංචාරකයාගේ අත්දැකීම් අනුව නම් Photoshop ජාලරේඛය ගොඩ නඟන්නේ ඉහත සඳහන් ක්‍රමයට වඩා වෙනස් විදියකටයි. ඒ ගැන වැඩි විස්තරයක් කියන්න සංචාරකයා දන්නේ නෑ. හැබැයි මූලික සංකල්පය නම් එකයි.

.ලි: ඡායාරූපයෙන් දැක්වෙන්නේ අර සංචාරකයා කලින් දවසකත් කියපු ගම්මානයට පෙනෙන ඉර බහින දර්ශනයක්.


Advertisements

සිප ගන්නා වෘත්ත

1 Comment

මාතෘකාව දැක්කාම කළබල වෙන්න එපා, සංචාරකයා ලියන්න යන්නේ 18+ දෙයක් නම් නෙවේ. අද ලිපියෙන් කියන්න යන්නේ ගණිතයේ එන තවත් අපූරු ගොඩනැංවීමක් ගැනයි.  මෙය Apollonian gasket, Apollonian net, Kissing Circles, Soddy Circles ආදී වශයෙන් නම් කිහිපයකින් හැඳින්වෙනවා.

මෙයින් කියන්නේ එකක් අනෙක් දෙක සමඟ ස්පර්ශ වෙන ආකාරයෙන් පිහිටලා තියෙන වෘත්ත තුනක් තියෙනවා නම් එම වෘත්ත තුනම (C1,C2,C3 කියමු) ස්පර්ශ වන ආකාරයේ අළුත් වෘත්ත දෙකක් ගොඩ නඟන්න පුළුවනි කියලයි.  මෙය Apollonian gasket වශයෙන් නම් කරලා තියෙන්නේ සුප්‍රසිද්ධ ග්‍රීක ගණිතඥයෙක් වන ඇපලෝනියස්ට ගරු කිරීමක් වශයෙන්. හේතුව වන්නේ මොහු මීට ආසන්න තවත් නියමයක් සොයා ගැනීමයි. එම නියමයෙන් කියන්නේ දෙන ලද තලයක අඳින ලද වෘත්ත තුනක් [එකිනෙක ස්පර්ශ වීම අත්‍යවශ්‍ය නොවේ] තිබේ නම්, එම වෘත්ත තුනම ස්පර්ශ කරමින් උපරිම වශයෙන් තවත් වෘත්ත 8ක් ගොඩ නඟන්න පුළුවන් කියලයි.  කොහොමින් හරි අපි කතා කරන්න යන සංකල්පය René Descartes සහ Frederick Soddy කියන ගණිතඥයින් දෙදෙනා විසින් අවස්ථා දෙකකදී ඉදිරිපත් කරලා තියෙනවා.

දැන් මේ වෘත්ත දෙක ගොඩ නඟා ගන්නා ආකාරය බලමු.  C1, C2 සහ C3 කියන වෘත්ත තුනේ අරයන් පිළිවෙලින් r1, r2 සහ r3 යයි සිතමු. ඊට පස්සේ තව පුංචි දෙයක් ඕනේ වෙනවා. ඒ තමයි වෘත්තයක වක්‍රතාවය (curvature) කියන එක. වෘත්තයක වක්‍රතාව කියලා අර්ථ දක්වන්නේ වෘත්තයේ අරයේ පරස්පරයට (reciprocal). එතකොට C1, C2 සහ C3 කියන වෘත්ත තුනේ වක්‍රතාවයන් k1,k2 සහ k3 නම් k1=1/r1, k2=1/r2 සහ  k3=1/r3 වෙනවා. අලුත් වෘත්තයේ වක්‍රතාවය k4 නම් ඒක පහත සමීකරණයෙන් ගන්න පුළුවනි.

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√ (k1k2 + k2k3 + k3k1) ……………….. (1)

මතකයිනේ කලින් කිව්වා වෘත්ත දෙකක් තියෙනවා කියලා. ඒකයි k4 ට අගයන් දෙකක් තියෙන්නේ. අළුත් වෘත්ත දෙකේ වක්‍රතාවයන් දන්න නිසා දැන් අරයන් දෙක හොයා ගන්න පුළුවනි.  හැබැයි වෘත්ත දෙක අඳින්න නම් අරය විතරක් දැන ගත්තට මදි. කේන්ද්‍රය පිහිටලා තියෙන තැනත් හොයා ගන්න ඕනේ.  ඒකට තමයි පහතින් දැක්වෙන දෙවෙනි සමීකරණය තියෙන්නේ.

z4 = [z1k1 + z2k2 + z3k3 ± 2√ (k1k2z1z2+ k2k3 z2z3+ k3k1 z3z1)] /k4 ……….. (2)

මෙහි වලින් zi දක්වෙන්නේ එක් එක් වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛංඩාණ්ක සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් විදියට. උදාහරණයක් විදියට කියන වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛංඩාණ්ක (1,2) නම් z1 කියන්නේ  (1+2i) යි.  මෙම සංකල්පය තවත් පැහැදිලි කර ගන්න දැන් උදාහරණයක් අරන් බලමු.

මෙතනදි මම පහසුව තකා අරය ඒකක 1ක් වෙන වෘත්ත තුනක් අරන් තියෙනවා. C1, C2 ඇන්ඳායින් පස්සේ C3 අඳින්න පොඩි ගණනය කිරීමක් කරන්න වෙනවා [පොඩ්ඩක් හිතලා බලන්න C3 වල X ඛංඩාණ්කය 2cos (30) =1.732 ක් වෙනවා].

දැන් සහ සමීකරණ විසඳන්න අවශ්‍ය දත්ත ටික සකසා ගම්මු. r1=r2=r3=1 නිසා k1=k2=k3=1 වෙනවා. කේන්ද්‍රවල ඛංඩාණ්ක වලට අනුව z1=(0+i)=i, z2=(0-i)=-i සහ z3=(1.732+0i)=1.732 වෙනවා. (1) ට සහ (2) ට ආදේශ කළ විට,

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√ (k1k2 + k2k3 + k3k1)

= 1+1+1± 2√(1+1+1)

= 3± 2√(3)

=>  k4 = 6.6461 හෝ k4= -0.4641 [වක්‍රතාවයට සෘණ අගය ලැබෙන්නේ පිටතින් ස්පර්ශ කරන වෘත්තයටයි.]

=>   r4=0.1547 (1/6.6461) හෝ r4=2.1547 (1/0.4641)


z4 = [z1k1 + z2k2 + z3k3 ± 2√ (k1k2z1z2+ k2k3 z2z3+ k3k1 z3z1)] /k4

= [i -i + 1.732 ± 2√ (-i2-1.732i+ 1.732i)] /k4

= [1.732 ± 2√(1)] /k4

= [1.732 ± 2√(1)] /k4

k4 = 6.6461 විට z4= 0.5773+0i

k4 = -0.4641 විට z4= 0.5773+0i

එතකොට අවශ්‍ය වෘත්ත දෙක වන්නේ කේන්ද්‍රය (0.5773,0) හි පිහිටා තිබෙන අරය 0.1547 ක් වන වෘත්තය සහ කේන්ද්‍රය (0.5773,0) හි පිහිටා තිබෙන අරය  2.1547 ක්  වන වෘත්තයයි. මෙහිදී වෘත්ත දෙකේ කේන්ද්‍ර සමාන උනාට හැම විටම එහෙම වෙන්නේ නෑ. එහෙම උනේ මූලික වෘත්ත සැකසුම සමමිතික වීම නිසයි.

මේ විදියට දිගටම කරගෙන ගියාම ඉතාමත් සුන්දර වෘත්ත රටාවන් හදා ගන්න පුළුවනි. අන්තර්ජාලයේ Apollonian gasket කියලා සෙව්වොත් මෙම සංකල්පය ඇසුරෙන් සැකසූ ඉතාමත් නිර්මාණාත්මක රූප සටහන් හොයා ගතහැකි.

සර් වෝල්ටර් රැලේතුමාගෙන් පැවත එන දුම්කොල සහ ගණිත ගැටළුව

2 Comments

සර් වෝල්ටර් රැලේතුමා [Sir Walter Raleigh] ගැන සංචාරකයා මුලින්ම කියෙව්වේ මහාචාර්යය අලවත්තාගොඩ ප්‍රේමදාස මහත්මයා රචනා කරපු ‘ධවල ගජමුතු” කියන පොතෙන්.  ගස් කොළන් අතර ඇති වන සංවාද  ආකාරයට ලියා ඇති මේ පොතෙහි පරිසරය සම්බන්ධයෙන් මිනිසාගේ වැරදි ක්‍රියාකරකම් ඉතාමත් උපහාසත්මකම විග්‍රහ කරළා තියෙනවා. සංචාරකයා මේ පොත කියවලා දැනට අවුරුදු 15ක් විතර වුණත් පොතෙහි සඳහන් කරුණු අදටත් වලංගුයි කියලා තමයි හිතෙන්නේ. පරිසරයට ආදරේ කරන අයට මෙම පොත කියවන්න සංචාරකයා නිර්දේශ කරනව.

මේ පොතේ එක තැනක තියෙනවා දුම්කොළ භාවිතය ලෝකෙට පෙන්වලා දුන්නේ වෝල්ටර් රැලේතුමා කියලා.  දුම්කොල සහ අර්තාපල් බ්‍රිතාන්‍යට අඳුන්වලා දීලා තිබෙන්නේ මෙතුමා කියලා තමයි ඉතිහාසයේ තියෙන්නේ. නව ලෝකයේ එහෙමත් නැත්නම් ඇමරිකාවේ බ්‍රිතාන්‍ය ජනාවස පිහිටුවන්න ගිය අසාර්ථක ගමනකින් පසුව සියරට බලා එන ගමනේදි වෝල්ටර් රැලේතුමා අර්තාපල් සහ දුම්කොල බ්‍රිතාන්‍යයට ගෙනැවිත් තියෙනවා..  මේ සිද්ධිය සිදුවුණේ ක්‍රි.ව 1585-1587 අතර කාලයකදී.   මීට අමතරව 1595 දී ‘El Dorado‘ නොහොත් ‘රනින් කළ නගරය’ සොයා ගෙන ගිය ගමන නිසාත් මෙතුමා ප්‍රසිද්ධ උණා. මතකනේ ‘El Dorado ‘, අර බොහොම ප්‍රසිද්ධ වුණු Animated Film එකකුත් තියෙන්නේ.  ‘El Dorado’ කියන්නේ දකුණු අමෙරිකානු මහද්වීපයේ උතුරු කොටසේ තිබුණා යයි විශ්වාස කරන ප්‍රබන්ධාත්මක නගරයක්. කොහොමින් හරි දැන් මෙතුමා සම්බන්ධ වුණු ගණිත ගැටළුවට එමු.

වරක් නැව් ගමනකට සූදානම් වෙමින් හිටිය වෝල්ටර් රැලේතුමා තමන්ගේ සහායකයා වන තෝමස් හැරියට්ගෙන් [Thomas Harriot] ඇහුවා කාලතුවක්කු උණ්ඩ ගොඩක තියෙන උණ්ඩ ගණන දැන ගන්න පහසු ක්‍රමයක්. සම්පූර්ණ ගෝලාකාර වූ කාලතුවක්කු උණ්ඩ නැවේ ගොඩ ගසන්නේ පිරමීඩාකාරව. උදාහරණයක් විදියට පළමුව 4 x 4 පාදයක් ගොඩ නඟලා එහි ගෝල වලින් සෑදෙන් හිඩස් වලට තව 3 x 3 තට්ටුවක් දානව. මෙහෙම අන්තිමට එකක් වෙන තුරු ඉහළට  ගොඩ ගහනවා. තෝමස් හැරියට් මෙම ප්‍රශ්නයට පහසුවෙන් පිළිතුරක් දුන්නා. මොකද එක එක තට්ටුවේ තියෙන ගෝල ගණන ඉතා සුප්‍රසිද්ධ සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියකයි පිහිටලා තියෙන්නේ.

කළින් උදාහරණය ගත්තොත් ශ්‍රේණියේ පද ටික එන්නේ මෙහෙමනේ.

16, 9, 4, 1

මේ විදියට පැත්තක දිග n වෙන වෙන පිරමීඩාකාර ගෝල ඇසුරුමක් ගැන හිතුවොත් එක එක ස්ථරයේ තිබෙන ගෝල සංඛ්‍යාව එන්නේ මෙහෙමයි.

12, 22, 32, 42, 52,……………., (n-1)2, n2

මෙහි එකතුව (1/6)(n)(n+1)(2n+1) කියලා ගණිත අභ්‍යුහනයෙන් හරි සර්වසාම්‍යයයක් මඟින් හරි පෙන්නන්න පුළුවන්නේ.

හැබැයි තෝමස් හැරියට් මෙතනින් එහාට හිතුවා. ඔහු හිතුවා අවකාශයේ ගෝල අසුරන්න පුළුවන් වඩාත්ම ඵලදායී ක්‍රමය මොකක්ද කියලා [අඩුම් හිස් අවකාශ ප්‍රමාණයක් පවතින පරිදි]. මේ පිළිබඳව තමන් අධ්‍යයනය කරන අතරම ඔහු මෙම ප්‍රශ්ණය ජර්මන් ජාතික ගණිතඥයෙක් වන ජොහැන්නස් කෙප්ලර්ටත් [Johannes Kepler] යොමු කළා. මතක ඇතිනේ ජොහැන්නස් කෙප්ලර්, අර ග්‍රහවස්තුවල චලිතය සම්බන්ධයෙන් නියම තුනක් එහෙම ඉදිරිපත් කළේ. ඔහු 1611 දී කිව්ව ඉතාම සූක්ෂම පරිදි ගෝල අසුරන්න පුළුවන් ක්‍රමය තමයි අර පළතුරු වෙළෙන්දන් ඇපල්, දොඩම් වගේ පළතුරු අඩුක් කරන අකාරය. මෙයට ගණිතමය වචන වලින් කියන්නේ   ‘Cubic Close Packing’ කියලයි. මෙම ක්‍රමයට 0.74 කට ආසන්න ඇසුරුම් ඝනත්වයක් [Packing Density] ලබා ගන්න පුළුවන්. කෙප්ලර් මෙයට සාධනයක් ඉදිරිපත් නොකළ නිසා මෙය Kepler’s Conjecture නමින් හැඳින්වුණා.  එදා ඉඳල ගණිතඥයෝ මෙය විසඳන්න උත්සාහ කළා. මෙම ගැටළුව ජනප්‍රිය වෙන්න හේතු වුණේ විද්‍යාඥයෝ විශ්වාස කළා පරමාණු, අණු සම්බන්ධ ආකෘතිවලදී මෙය ප්‍රයෝජනවත් වෙයි කියලා. අවසානයේ,  90 දශකයේ අග භාගයේදී අමෙරිකානු ජාතික ගණිතඥයෙක් වන තෝමස් හේල්ස් [Thomas Hales] විසින් මෙයට දීර්ඝ සාධනයක් ඉදිරිපත් කරලා තියෙනවා.

ප.ලි: ඡායාරූපයේ ආකාරයට,එහෙමත් නැත්නම් අහඹු ලෙස ගෝල අසුරන එක ගැනත් ගණිතඥයෝ අධ්‍යයනය කරලා තියෙනව. එයින් ගන්න පුළුවන් ඇසුරුම් ඝනත්වය 0.65 වගේ අගයක් ගන්නවා.