මාතෘකාව දැක්කාම කළබල වෙන්න එපා, සංචාරකයා ලියන්න යන්නේ 18+ දෙයක් නම් නෙවේ. අද ලිපියෙන් කියන්න යන්නේ ගණිතයේ එන තවත් අපූරු ගොඩනැංවීමක් ගැනයි.  මෙය Apollonian gasket, Apollonian net, Kissing Circles, Soddy Circles ආදී වශයෙන් නම් කිහිපයකින් හැඳින්වෙනවා.

මෙයින් කියන්නේ එකක් අනෙක් දෙක සමඟ ස්පර්ශ වෙන ආකාරයෙන් පිහිටලා තියෙන වෘත්ත තුනක් තියෙනවා නම් එම වෘත්ත තුනම (C1,C2,C3 කියමු) ස්පර්ශ වන ආකාරයේ අළුත් වෘත්ත දෙකක් ගොඩ නඟන්න පුළුවනි කියලයි.  මෙය Apollonian gasket වශයෙන් නම් කරලා තියෙන්නේ සුප්‍රසිද්ධ ග්‍රීක ගණිතඥයෙක් වන ඇපලෝනියස්ට ගරු කිරීමක් වශයෙන්. හේතුව වන්නේ මොහු මීට ආසන්න තවත් නියමයක් සොයා ගැනීමයි. එම නියමයෙන් කියන්නේ දෙන ලද තලයක අඳින ලද වෘත්ත තුනක් [එකිනෙක ස්පර්ශ වීම අත්‍යවශ්‍ය නොවේ] තිබේ නම්, එම වෘත්ත තුනම ස්පර්ශ කරමින් උපරිම වශයෙන් තවත් වෘත්ත 8ක් ගොඩ නඟන්න පුළුවන් කියලයි.  කොහොමින් හරි අපි කතා කරන්න යන සංකල්පය René Descartes සහ Frederick Soddy කියන ගණිතඥයින් දෙදෙනා විසින් අවස්ථා දෙකකදී ඉදිරිපත් කරලා තියෙනවා.

දැන් මේ වෘත්ත දෙක ගොඩ නඟා ගන්නා ආකාරය බලමු.  C1, C2 සහ C3 කියන වෘත්ත තුනේ අරයන් පිළිවෙලින් r1, r2 සහ r3 යයි සිතමු. ඊට පස්සේ තව පුංචි දෙයක් ඕනේ වෙනවා. ඒ තමයි වෘත්තයක වක්‍රතාවය (curvature) කියන එක. වෘත්තයක වක්‍රතාව කියලා අර්ථ දක්වන්නේ වෘත්තයේ අරයේ පරස්පරයට (reciprocal). එතකොට C1, C2 සහ C3 කියන වෘත්ත තුනේ වක්‍රතාවයන් k1,k2 සහ k3 නම් k1=1/r1, k2=1/r2 සහ  k3=1/r3 වෙනවා. අලුත් වෘත්තයේ වක්‍රතාවය k4 නම් ඒක පහත සමීකරණයෙන් ගන්න පුළුවනි.

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√ (k1k2 + k2k3 + k3k1) ……………….. (1)

මතකයිනේ කලින් කිව්වා වෘත්ත දෙකක් තියෙනවා කියලා. ඒකයි k4 ට අගයන් දෙකක් තියෙන්නේ. අළුත් වෘත්ත දෙකේ වක්‍රතාවයන් දන්න නිසා දැන් අරයන් දෙක හොයා ගන්න පුළුවනි.  හැබැයි වෘත්ත දෙක අඳින්න නම් අරය විතරක් දැන ගත්තට මදි. කේන්ද්‍රය පිහිටලා තියෙන තැනත් හොයා ගන්න ඕනේ.  ඒකට තමයි පහතින් දැක්වෙන දෙවෙනි සමීකරණය තියෙන්නේ.

z4 = [z1k1 + z2k2 + z3k3 ± 2√ (k1k2z1z2+ k2k3 z2z3+ k3k1 z3z1)] /k4 ……….. (2)

මෙහි වලින් zi දක්වෙන්නේ එක් එක් වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛංඩාණ්ක සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් විදියට. උදාහරණයක් විදියට කියන වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛංඩාණ්ක (1,2) නම් z1 කියන්නේ  (1+2i) යි.  මෙම සංකල්පය තවත් පැහැදිලි කර ගන්න දැන් උදාහරණයක් අරන් බලමු.

මෙතනදි මම පහසුව තකා අරය ඒකක 1ක් වෙන වෘත්ත තුනක් අරන් තියෙනවා. C1, C2 ඇන්ඳායින් පස්සේ C3 අඳින්න පොඩි ගණනය කිරීමක් කරන්න වෙනවා [පොඩ්ඩක් හිතලා බලන්න C3 වල X ඛංඩාණ්කය 2cos (30) =1.732 ක් වෙනවා].

දැන් සහ සමීකරණ විසඳන්න අවශ්‍ය දත්ත ටික සකසා ගම්මු. r1=r2=r3=1 නිසා k1=k2=k3=1 වෙනවා. කේන්ද්‍රවල ඛංඩාණ්ක වලට අනුව z1=(0+i)=i, z2=(0-i)=-i සහ z3=(1.732+0i)=1.732 වෙනවා. (1) ට සහ (2) ට ආදේශ කළ විට,

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√ (k1k2 + k2k3 + k3k1)

= 1+1+1± 2√(1+1+1)

= 3± 2√(3)

=>  k4 = 6.6461 හෝ k4= -0.4641 [වක්‍රතාවයට සෘණ අගය ලැබෙන්නේ පිටතින් ස්පර්ශ කරන වෘත්තයටයි.]

=>   r4=0.1547 (1/6.6461) හෝ r4=2.1547 (1/0.4641)


z4 = [z1k1 + z2k2 + z3k3 ± 2√ (k1k2z1z2+ k2k3 z2z3+ k3k1 z3z1)] /k4

= [i -i + 1.732 ± 2√ (-i2-1.732i+ 1.732i)] /k4

= [1.732 ± 2√(1)] /k4

= [1.732 ± 2√(1)] /k4

k4 = 6.6461 විට z4= 0.5773+0i

k4 = -0.4641 විට z4= 0.5773+0i

එතකොට අවශ්‍ය වෘත්ත දෙක වන්නේ කේන්ද්‍රය (0.5773,0) හි පිහිටා තිබෙන අරය 0.1547 ක් වන වෘත්තය සහ කේන්ද්‍රය (0.5773,0) හි පිහිටා තිබෙන අරය  2.1547 ක්  වන වෘත්තයයි. මෙහිදී වෘත්ත දෙකේ කේන්ද්‍ර සමාන උනාට හැම විටම එහෙම වෙන්නේ නෑ. එහෙම උනේ මූලික වෘත්ත සැකසුම සමමිතික වීම නිසයි.

මේ විදියට දිගටම කරගෙන ගියාම ඉතාමත් සුන්දර වෘත්ත රටාවන් හදා ගන්න පුළුවනි. අන්තර්ජාලයේ Apollonian gasket කියලා සෙව්වොත් මෙම සංකල්පය ඇසුරෙන් සැකසූ ඉතාමත් නිර්මාණාත්මක රූප සටහන් හොයා ගතහැකි.

Advertisements