පයිතගරස් ගස

3 Comments

2010 අවුරුද්දත් ඉවර වේගෙන එනවා. 2010 ඉලක්කමත් එක්කම සංචාරකයාගේ මතකයට එන්නේ ආතර් සී ක්ලාක් මහත්මයා රචනා කළ ‘2010, A Space Odyssey’ කියන පොත. සිංහල පරිවර්තනය ‘2010 අභ්‍යාවකාශ වීර චාරිකාව’ නමින් කළා ඒස්.ඒම් බන්දුසීල මහත්මයා.

පොතේ හැටියට නම් මේ වෙද්දී මින්ස්සු බ්‍රහස්පති ආසන්නයට මිනිසුන් සහිත අභ්‍යවකාශ යානා යවන තත්වෙකයි ඉන්නේ.  ඔය පොතේ එක තැනකදී චැන්ග් කියන චීන ජාතික අජටාකාශගාමියා විස්තර කරනවා එයාලගේ යානාව බ්‍රහස්පතිගේ චන්ද්‍රයෙක් වන යුරෝපා මතදී විනාශ වුණු හැටි. ඒක විනාශ කරන ජීවියාව විස්තර කරන්න ඔහු උපමාවක් වශයෙන් ගන්නේ ‘ගුරුත්වය නිසා පැතලි වුණු නුග ගහක්’. 2001 කියවන්න කළින් 2010 කියවන්න ගිහින් විපරීත වෙලා හිටපු සංචාරකයා මේක දැක්කාම ටිකක් කල්පනා කළා මතකයි. මේ කියන්නේ අපි දන්න සාමාන්‍ය නුග ගහක්ද  නැත්නම් වෙන මොකක්වද්ද කියලා. ඇයි ඉතින් පොළවේ තියෙන නුග ගහකට ගුරුත්වයේ බලපෑම කොහොමත් තියෙනවානේ.

මේ කියන්න යන්නෙත් ඒ වගේ පැතළි ගහක් ගැනයි.  ගහේ නම තමයි ‘පයිතගරස් ගහ‘. මේකත් අයිති වෙන්නේ අර කළින් දවසක කියපු ‘Fractal Artවලටම තමයි.  වැඩිය විස්තර කරන්න දෙයක් නැහැනේ, රූපය දැක්කාම ගොඩ නඟන හැටි පැහැදිලි වෙනවානේ. මෙය මුලින්ම නිර්මාණය කරන්නේ ඕලන්ද ජාතික ගණිතඥයෙක් වන ඇල්බට් ඊ බොස්මන් 1942 දී.

රූපය ගොඩ නැඟුවේ  පහත යොමුවෙන් ලබා ගත්ත Mathematica ක්‍රමලේඛණය තරමක් සංස්කරණය කිරීමෙනුයි.

http://demonstrations.wolfram.com/PythagorasTree/

ෆර්මාගේ අවසන් ගැටළුව

13 Comments

මේක නම් ටිකක් විතර ප්‍රසිද්ධ කතාවක්. ගණිතය සම්බන්ධ කතන්දරවලදී මුලින්ම කියවෙන එකක්.

පියරේ ඩි ෆර්මා කියන්නේ 17වන ශත වර්ෂයේ විසූ ප්‍රංශ ජාතික ගණිතඥයෙක්. ෆර්මා ක්‍රි.ව 1665දී මිය යනවා. හැබ‍යි ඒ වෙද්දී ඔහු සිය අධ්‍යයන ප්‍රකාශයට පත් කරලා තිබුණේ නැහැ. ඉතින් ඔහුගේ පුතා වන ක්ලෙමන්ට් සැමුවෙල් ෆර්මා විසින් පියාගේ පොත්පත්, ලිපි, සටහන් ආදිය එකතු කරලා කියවලා බලනවා ප්‍රකාශයට පත් කරන්න. එවිට ඔහුට හමු වෙනවා තම පියා විසින් පරිශීලනය කරපු ඇලෙක්සැන්ඩ්‍රියානු ගණිතඥයෙක් වන ඩයිෆන්ටස්ගේ [Diophantus] Arithmatica කියන පොතේ පිටපත.  මේ පොතේ ෆර්මා තැනින් තැන සටහන් යොදලා තිබුණා. ගොඩක් වෙලාවට ඔහුගේ සටහන්වල තිබුණේ පොතේ එන ගැටළු අනුසාරයෙන් ඔහු ගොඩනංවපු ගැටළුත් ඒවයින් සමහරකට විසඳුමුත්.

1670දී සැමුවෙල් විසින් මෙම පොත නව සංස්කරණයක් වශයෙන් ප්‍රකාශයට පත් කරනවා පියරේ ඩි ෆර්මාගේ සටහන් එක්කම.  පොතේ එක් ගැටළුවක් වශයෙන් ඩයිෆන්ටස්ගේ විස්තර කරනවා පරිමේය වර්ග සංඛ්‍යාවක් තවත් වර්ග සංඛ්‍යා දෙකක ඒකතුවක් විදියට ලියන හැටි. එනම් k2=u2+v2 සමීකරණයට විසඳුමක් k දන්නා විට.  උදාහරණයක් වශයෙන් ඔහු ගන්නේ k= 4 අවස්ථාව.  ඔහු කියනවා  u=x හා v=(2x-4)වශයෙන් ගත්තාම අවශ්‍ය විසඳුම ගන්න පුළුවන් කියලා. මෙහිදී v තෝරා ගැනීමේදී සපුරාලිය යුතු කොන්දේසිය වන්නේ එය u [නැත්නම් x වල] ඕනෑම ගුණාකාරයකින් k අඩු කිරීමෙන් සෑදෙන සංඛ්‍යාවක වර්ගය විය යුතු බවයි. එතකොට

x2 + (2x-4)2 = 42

=>   x2 + 4x2-16x+16 = 16

=>   5x2 -16x = 0

=>    x(5x-16) = 0

=>   x = 0 හෝ x = 16/5

මෙහි x=0 අවශ්‍ය උත්තරය නෙවෙයි. එය අර කලින් දවසක කිව්වා වගේ Trivial Answer එකක්. ඒ හින්දා අවශ්‍ය උත්තර දෙක වශයෙන්  u=16/5 සහ v=12/5 ලැබෙනවා.  එනම් (16/5)2 + (12/5)2 = 42 . පොතේ පියරේ ඩි ෆර්මා මේ ගැටළුව ළඟින් මෙහෙම සඳහනක් දානවා.

මම ඉතාම අපූර්ව සොයා ගැනීමක් කළා. එනම් ඝනජ සංඛ්‍යාවක් තවත් ඝනජ සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවක් වශයෙන් ලිවිය නොහැකියි. හතරවන බලයක් තවත් හතරවන බල දෙකක එකතුවක් වශයෙන් ලිවිය නොහැකියි. සාධාරණ වශයෙන් කියනවා නම් දෙකෙන් ඉහළ ඕනෑම බලයක් තවත් එම බලයේ සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවක් වශයෙන් ලිවිය නොහැකියි. ඔප්පු කිරීම අන්තර්ගත කිරීමට මෙම ඉඩ ප්‍රමාණවත් නොවේ.

වෙන විදියකින් කියනවා නම් ෆර්මා කියලා තිබ්බේ xn + yn = zn කියන සමීකරණයට බිංදුව නොවන  x, y, z ධන නිඛිල උත්තර නෑ n දෙකට වඩා විශාල ධන නිඛිලයක් වෙන අවස්ථාවට. n=2 වෙන අවස්ථාවට උත්තර තිබෙන බව ඒ වන විටත් ගණිතඥයෝ දැනන් හිටියා. ඒ තමයි පයිතගෝරියානු ත්‍රිත්ව.  උදාහරණයක් විදියට (3,4,5) දක්වන්න පුළුවන්. ඇත්තටම ඉහත විස්තර කළ ඩයිෆන්ටස් ක්‍රමයත් පයිතගෝරියානු ත්‍රිත්ව හොයා ගන්න යොදා ගන්න පුළුවන්.

කාලයත් එක්ක ෆර්මා ඉදිරිපත් කළ අනික් ගැටළු වලට විසඳුම් සොයා ගත්තත් ඉහත ගැටළුව විසඳන්න කාටවත් හැකිවුණේ නෑ. ඒ හින්දා තමයි මෙම ගැටළුව ෆර්මාගේ අවසන් ප්‍රමේයය” [Fermat’s Last Theorem]වශයෙන් ප්‍රසිද්ධ වුණේ.  අවසානයේදී බ්‍රිතාන්‍ය ජාතික ගණිතඥයෙක් වන Andrew Wiles විසින් 1995 දී මෙයට සාධනයක් ඉදිරිපත් කරනවා.

ඇත්තටම මෙම ගැටළුවට ෆර්මා ළඟ සාධනයක් තිබ්බද කියන අදටත් කවුරුත් දන්නේ නැහැ. Andrew Wiles ගේ සාධනය නූතන ගණිත සංකල්ප මත පදනම් වුණු එකක්. ඒ දැනුම ෆර්මා සතුව තිබුණා කියලා හිතන්න අමාරුයි.

තමන්ගේ අධ්‍යයන ප්‍රකාශයට පත් නොකළත් තමන් විසඳූ සමහර ගැටළු ලිපි මඟින් සමකාළීන ගණිතඥයින් වෙත අභියෝග වශයෙන් යවන පුරුද්දක් ෆර්මා ළඟ තිබුණා. ආසන්න වශයෙන් ෆර්මා Arithmaticaකියවපු කාලය වශයෙන් පිළි ගැනෙන්නේ ක්‍රි.ව 1630 යි. මෙයින් පසු n=3 සහ n=4 අවස්ථාවට ඉහත සමීකරණය ඔප්පු කරන්න අනික් ගණිතඥයන්ට යැව්වත් සධාරණ අවස්ථාව ඔප්පු කරන්න කියලා ෆර්මා ඔහු මිය යන තුරුත් කාටවත් කියලා නැහැ.

ඉතින් ඒ හින්දා බොහෝ දෙනා විශ්වාස කරනවා ෆර්මා සතුව මෙයට සාධනයක් තිබුණේ නැහැ කියලා. සමහර විට ඔහු තමන්ගේ සාධනයේ වැරැද්දක් පසුව සොයා ගන්න ඇති. එහෙමත් නැත්නම් ඔප්පු කරන්න පුළුවන් වෙයි කියලා අදහසක් හිතේ තියාගෙන සටහන් ලිව්වත් පසුව ඔහු තේරුම් ගන්න ඇති ඒ ආකාරයෙන් කරන්න බෑ කියලා. හැබැයි ඉතින් මේවා අදහස් විතරයි. හරිම සිද්ධිය කවුරුවත් දන්නෙත් නැහැ. ඉදිරියේදී දැන ගන්න හම්බ වෙයි කියලා හිතන්නත් අමාරුයි.

කලනයේ කලබගෑනිය

5 Comments

කලනය, ඉංග්‍රිසියෙන් කියනවා නම් Calculus කියන්නේ අනිකුත් ක්ෂේත්‍රවල  බහුලව භාවිතා වන ඒක් ගණිත අංශයක්.  ඇත්තටම කලනය නැත්නම් අද ලෝකය මීට වඩා හාත්පසින්ම වෙනස් වෙන්න පුළුවන්. භෞතික විද්‍යාව, රසායන විද්‍යාව, ආර්ථික විද්‍යාව, ජීව විද්‍යාව, සමාජ විද්‍යාව වගේම ඉංජිනේරු තාක්ෂණය, සංනිවේදන තාක්ෂණය, තොරතුරු තාක්ෂණය වගේ අංශ ගණනාවකම කලනයේ සෘජු භාවිතයන් දකින්න පුළුවන්.

ක්‍රිස්තු පූර්ව අවධිවල ඉඳලා කලනයට අදාළ යම් යම් අදහස් විවිධ ගණිතඥයන් අතර තිබුණත් අද කලනය කියල උගන්වන සංකල්ප  ක්‍රමාණුකූල ලෙස ගොඩ නැඟෙන්නේ දහ හත් වන ශත වර්ෂයේදියි.  දහ හත් වන සියවසේ අග භාගයේ යුරෝපීය ගණිතඥයන් දෙදෙනෙකු විසින් කලනයේ සංකල්ප ස්වාධීනව ගොඩනඟනවා. කලබගෑනිය ඇතිවන්නේ පසුකාලීනව මේ දෙදෙනා සහ ඔහුගේ අනුගාමිකයින් මුලින්ම කලනය සොයා ගත්තේ කවුරුන්ද කියන එකට මහා වාදයක් ඇති කර ගන්න නිසයි.

මෙයට අදාළ පළමු වැන්නා තමයි සර් අයිසෙක් නිව්ටන්. ඔහු ගැන ආයේ අමුතුවෙන් ලියන්න දෙයක් නෑ නේ. දෙවැන්නා තමයි ගොට්ෆ්‍රිඩ් ලීබ්නස්. මොහු සර් අයිසෙක් නිව්ටන්ට සාපේක්ෂව ටිකක් විතර අඩුවෙන් කියවෙන කෙනෙක් හින්දා පොඩි විස්තරයක් කියන්නම්. ගොට්ෆ්‍රිඩ් ලීබ්නස්  කියන්නේ ක්‍රි.ව 1646-1716 කියන කාල පරාසයේ ජීවත් වූ ජර්මන් ජාතික ගණිතඥයෙක්. ගණිතයට, භෞතික විද්‍යාවට කරන ලද දායක වීම වලට අමතරම මොහුගේ නම කියවෙනවා වර්තමාන තොරතුරු තාක්ෂණයේදීත්. හේතුව තමයි ඔහු විසින් 1694 දී යාන්ත්‍රික ගණක යන්ත්‍රයක් නිපදවීම.

ගොට්ෆ්‍රිඩ් ලීබ්නස්  ක්‍රි.ව 1674-1684 කාලවකවානුවේ කලනයේ සංකල්ප ගොඩ නඟලා ක්‍රි.ව  1684 දී එවා ප්‍රසිද්ධ කරනවා.  අනික් පැත්තෙන් සර් අයිසෙක් නිව්ටන් ක්‍රි.ව  1666 ඉඳලා කලනයේ සංකල්ප ගොඩ නැංවීම වෙනුවෙන් වැඩ කරනවා. හැබැයි ඔහු එවා සම්පූර්ණයෙන් ප්‍රසිද්ධ කරන්නේ ක්‍රි.ව  1704 දී.  ඊට කළින් අවස්ථා දෙකකදී [ 1687 දී සහ 1693 දී ] තමාගේ සොයා ගැනීම අර්ධ වශයෙන් ප්‍රකාශයට පත් කරනවා.

මේ දෙදෙනා එකිනෙකාගේ අධ්‍යයන ගැන මඳ වශයෙන් දැන සිටියත් දෙදෙනාම එක ප්‍රථ්ඵලය කරා මාර්ග දෙකකින් ගමන් කරන බව තේරුම් ගත්තේ නෑ. ඒකට ඒ කාලේ සංනිවේදනයේ තිබුණු දුර්වලතාත් හේතුවක් වුණා කියලා කියනවා. අද කාලේ නම් යමක් හොයා ගත්තාම අන්තර්ජාලයෙ පළ කළාම ලෝකයම දැන ගන්නවා. කොහොම හරි කලනයේ අයිතිය සම්බන්ධයෙන් ක්‍රි.ව 1700-1715 කාලයේ සෑහෙන විවාදයක් ඇති වෙනවා. ඒවකට රාජකීය සංගමයේ සභාපතිව සර් අයිසෙක් නිව්ටන් ට බොහෝ දෙනෙක්ගේ සහයෝගය ලැබුණා. හැබැයි ලීබ්නසුත් අත අරින්නේ නෑ, ඔහු තමගේ පුද්ගලික දින සටහන් පෙන්නලා සාධක ඉදිරිපත් කළා තමන් සර් අයිසෙක් නිව්ටන්ගෙන් ස්වායක්තව වෙනමම මාර්ගයක් ඔස්සේ ගමන් කිරීමෙන් කලනය සොයා ගත් බවට.  ලීබ්නස් කලනයට වෙනමම දායක වුණු බවට පිළි ගැනීම ලැබෙන්නේ ඔහුගේ මරණයෙනුත් පස්සෙයි. වර්තමානයේ කලනයේ බහුලව භාවිතා වන dy/dx, ∫ වැනි සංකේත ලීබ්නස් විසින් හඳුන්වා දුන් ඒවා වන අතර ÿ වැනි සංකේත නිව්ටන් විසින් හඳුන්වා දුන් ඒවා වෙනවා.

මේ සම්බන්ධයෙන් නීල් ස්ටීවන්සන්ගේ “The Baroque Cycle කියන තුන් ඈඳුදු  නවතකාතාවේ සෑහෙන විස්තරයක් කියලා තියෙනවා කියල සංචාරකයා අහලා තියෙනවා. වෙළුම් තුනකින් යුතු මෙම දීර්ඝ නවකතාව පොත් 8කින් යුක්තයි. තවමත් සංචාරකයා කියවලා තියෙන්නේ පළමු වෙළුමේ පළමු පොත වන “Quicksilver” කියන එක විතරයි.  පොත ගැන පොඩ්ඩක් කියනවා නම් සමකාලීන විද්‍යාඥයන්, ගණිතඥයන් වන  ගොට්ෆ්‍රිඩ් ලීබ්නස්  ,අයිසෙක් නිව්ටන්, රොබට් හූක්, රොබට් බොයිල් වැන්නවුන් මේ පොතේ එන චරිත. භාෂා විලාශය නම් ටිකක් විතර දීර්ඝයි. ඒ වුණත් කතාව නම් හරිම සිත්ගන්නාසුළුයි.

තුති …මල්

9 Comments

පහුගිය බදාදා තමයි සංචාරකයාට මේ සතුටුදායක පුවත දැන ගන්න හම්බ වුනේ. ඒ තමයි රාජකීය විද්‍යාලයීය සිංහල භාෂා හා සාහිත්‍ය ඒකකය විසින් වාර්ෂිකව සංවිධානය කරනු ලබන “අසෙනිය කුසුම” සාහිත්‍ය උළෙලට සමගාමීව පැවැත්වුණු සිංහල බ්ලොග්කරණ තරඟාවලියේදී සංචාරකයාගේ බ්ලොග් සටහටන ” හොඳම අධ්යාපනික බ්ලොග් අඩවිය” ” සම්මානය හිමි වෙලා තියෙනවා කියලා. ඉතින් සංචාරකයා එම සංගමයට සංචාරකයාගේ ගෞරව පූර්වක ස්තුතිය පිරිනමනවා.  මෙම ඇගයීමත්, මීට කලින් ටැබූගෙන් ලැබුණු ඇගයීමත් දෙකම තවතවත් ලියන්න සංචාරකයාට දිරියක්.  මෙම තරඟාවලියෙන් ජය ලැබූ අනෙකුත් බ්ලොග් අඩවිවලට සුබ පතන අතරම, මේ බ්ලොග් අඩවියට පැමිණි ඔබ සැමටත් සංචාරකයා ස්තුතිවන්ත වෙනවා.

හරි තුති කොටස ඉවරයි. දැන් මල් කොටසට …..


මේ තියෙන්නේ නිකන්ම නිකන් මල් රටාවක් නම් නෙවේ, Apophysis කියන මෘදුකාංගය භාවිතා කරලා හදපු පින්තූරයක්. මෙයාකාර චිත්‍ර වලට කියන්නේ Fractal Art කියලා. මෙයට අදාළ සිංහල වචනය නම් සංචාරකයා දන්නේ නැහැ.  මෙහිදී කරන්නේ ගණිතයම සූත්‍ර recursively [යළි යළිත්] භාවිතා කරල දෘශ්‍ය කලා නිර්මාණ කරන එකයි. සංකල්පය 17වන ශත වර්ෂයේ ඉඳලා ගණිතඥයින් අතර තිබුනත් වඩාත් ප්‍රායෝගිකව භාවිතයට එන්නේ පරිඝනක ආවයින් පසුවයි.

ඉතාමත් සරල උදාහරණයක් අරන් සංකල්පය පැහැදිලි කර ගමු බලන්න. මේකට කියන්නේ කොච් හිමපියල්ල [Koch snowflake] කියලා. මේකේ නිර්මාතෘ තමයි ස්වීඩන් ජාතික ගණිතඥයෙක් වන Helge von Koch.

මුලින්ම සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් ගන්න. ඒක සමාන කොටස් තුනකට බෙදන්න. එයින් මැද කොටස පාදය වෙන්නේ සමපාද ත්‍රිකෝණයක් ගොඩ නඟන්න. ඊට පස්සේ පාදය වුණු රේඛා ඛණ්ඩය ඉවත් කරන්න [රූපය 1]. හිම පියල්ල හදන්න සමපාද ත්‍රිකෝණයකින් පටන් ගෙන දිගට කරගෙන යන්න ඕනේ පහත රූපයේ විදියට [රූපය 2]. හිම පියල්ලක ස්වරූපය එන්න නම් තව කිහිප සැරයක් කරන්න වෙනවා.

මීට වඩා බෙහෙවින් සංකීර්ණ නිර්මාණ වර්තමානයේ පරිඝනක මෘදුකාංග මඟින් ගොඩ නඟන්න පුළුවනි. Apophysis ගැන කියනවා නම් එය නොමිලේ බාගත කිරීමට දෙන මෘදුකාංගයක්. මෙම මෘදුකාංගය හරහා මෙවැනි චිත්‍ර ගොඩ නඟන එක ඉතාමත් පහසුයි.  හැබයි හිතේ තියෙන දෙයක් ඒ විදියටම ගොඩ නඟන්න නම් ඉතාම අමාරුයි. ඇත්තටම ඒක තමයි Fractal Art වල තියෙන සුන්දරත්වය.

මෙගා මිත්‍යාව

9 Comments

මෙගා ස්ටාර් වැඩසටහන පහුගිය දවස් වල සෑහෙන කතාබහකට ලක් වුණානේ. සංචාරකයා මේ ලියන්න යන්නේ ඒ ‘මෙගා’ ගැන නම් නෙවේ. මේ ඇවිල්ලා ඩිජිටල් කැමරාවක මෙගාපික්සල් අගය ගැන පොඩි සටහනක්.

කව්රු හරි අළුත් ඩිජිටල් කමරාවක් ගත්තොත් බොහෝ දෙනෙක් අහන ප්‍රශ්නයක් තමයි “මෙගාපික්සල් කීයද” කියන එක. අළුතින් කැමරා ගන්න බොහොමයක් දෙනා වැඩි මෙගාපික්සල් ගණනක් සහිත කැමරා ගන්න බලනවා. අනික් අතට කැමරා නිෂ්පාදකයින් බොහෝ විට මෙගාපික්සල් ගණන වැඩියෙන් මාකට් කරනවා. හැබයි ඇත්තටම අපිට මෙගාපික්සල් කීයක් ඕනෙද ඩිජිටල් Point and Shoot කැමරාවක?

මුලින්ම, කැමරාවක මෙගාපික්සල් අගය කියන්නේ කැමරාවේ සංවේදකයේ තියෙන පික්සල් ගණන මෙගා විදියට [ඒ කියන්නේ 106න් බෙදලා] ලිව්වාම එන අගයට.  මතක ඇතිනේ කලින් ලිපියක D-SLR කැමරාවල සංවේදකය ගැන සංචාරකයා ලිපියක් ලිව්වා. එහි සඳහන් සංවේදකයේ සැකැස්මට අදාළ කරුණු ඩිජිටල් Point and Shoot කැමරාවලටත් අදාළයි.  උදාහරණයක් විදියට උපරිම  resolution එක 4000 x 3000 වන ඩිජිටල් කැමරාවක මෙගාපික්සල් ගණන වෙන්නේ 12යි.

(4000 x 3000)/10^6 = 12MP

ඩිජිටල් කැමරාවලින් ගන්න ඡායාරූපවලට කට්ටිය මොකද කරන්නේ?

බොහොමයක් දෙනා කරන්නේ ඡායාරූප අන්තර්ජාලයේ facebook වගේ තැන්වල පළ කරන එක. තවත් සමහරු පෝස්ට් කාඩ් ප්‍රමාණයට [4″x6″] ප්‍රමාණයට මුද්‍රණය කරලා ඇල්බම් හදනවා. කිහිප දෙනෙක් තමයි පෝස්ට් කාඩ් ප්‍රමාණයෙන් එහාට මුද්‍රණය කරන්නේ. [ සංචාරකයා මේ කියන්නේ ඡායාරූපකරණය වෘත්තියක් වශයෙන් කරන අයවත් ඡායාරූපකරණය විනෝදාංශයක් වශයෙන් බැහැලා කරන අයවත් ගැන නෙවේ].

දැන් බලමු ඔය එක එක අවස්ථාවට කොච්චර මෙගාපික්සල් ඕනෙද කියලා.  තිරයේ resolution එක 1280 x 800 වන laptop එකක් හිතමු. එතකොට මෙහි full screen අවස්ථාවෙදි පික්සල් වෙනම නොපෙනෙන්න ඡායාරූපයක් බලන්න අවශ්‍ය වන මෙගා පික්සල් ගණන වන්නේ

(1200 x 800)/10^6 ≈ 1MP

අන්තර්ජාලයට දාන ඡායාරූප full screen විදියට බලන අවස්ථාත් අඩුයි. එහෙම හිතුවාම අන්තර්ජාලයට අවශ්‍ය වන අවම resolution එක 640 x 480 වෙනවා කියලා කියනවා. ඒ කියන්නේ මේ වැඩේට 1 MP කැමරාවක්වත් අවශ්‍ය නෑ කියන එකයි.  සාමාන්‍යයෙන් ඡායාරූප මුද්‍රණය කරන්නේ 300 dpi [Dots Per Inch] කියන අගයෙන්.  එතකොට පෝස්ට් කාඩ් ප්‍රමාණයේ ඡායාරූපයකට අවශ්‍යවන මෙගා පික්සල් ගණන වන්නේ

(4 x 300 x 6 x 300)/10^6 ≈ 2.2 MP

ඒ වැඩේට එතකොට මෙගාපික්සල් 3ක් 4ක් කැමරාවක් හොඳටමම් ඇති. මේ විදියට තමන් මුද්‍රණය කරන්න බලාපොරොත්තු වෙන ප්‍රමාණය අනුව අවශ්‍ය මෙගාපික්සල් ප්‍රමාණය ගණනය කරන්න පුළුවන්. ප්‍රතිඵල අනුව එදිනෙදා වැඩ වලට මෙගාපික්සල් 4-5න් එහාට ඕනේ වෙන්නෙ නැති තරම්.

වැඩි මෙගාපික්සල් ගණන්වල කැමරා සාමාන්‍යයෙන් මිල අධිකයි. ඊට අමතරව වැඩි resolution වල ගන්නා ඡායාරූප ගබඩා කිරීමට වැඩි ඉඩක් අවශ්‍ය වෙනවා. තවත් වැදගත් කාරණයක් වන්නේ වැඩි මෙගාපික්සල් ලබා ගන්න නිෂ්පාදකයින් පික්සල් වල ප්‍රමාණය අඩු කිරීම නිසා අඩු ආලෝක තත්ව යටතේ කැමරාවේ ප්‍රතිඵල දුර්වලවීමයි.

එතකොට මෙගාපික්සල් ඉහළ අගයන් ඕනේ වෙන වෙලාවල් මොනවද? කව්රු හරි ඡායාරූප අන්තර්ජාලයට දාන්න හරි මුද්‍රණය කරන්න හරි විශාල වශයෙන් crop කරනවානම් මේක ප්‍රයෝජනවත් වෙනවා.

මේ ගැන නිව්යෝක් ටයිම්ස් පුවත්පතේ David Pogue කියන මාධ්‍යයවේදියා ප්‍රායෝගික පරීක්ෂණයක් කරලා තියෙනවා. විස්තර පහත යොමුවෙන් ගන්න පුළුවන්.

http://www.nytimes.com/2007/02/08/technology/08pogue.html

ඔහු කරන්නේ මෙගාපික්සල් 7, 10 හා 16.7 න් එකම වස්තුව ඡායාරූපයට නඟලා 16” x 24” ප්‍රමාණයට මුද්‍රණය කරලා මහජන ප්‍රදර්ශනයට තබන එකයි. වෙනස අඳුරා ගත් ප්‍රමාණය ඉතාමත් අල්පයි කියලා තමයි කියන්නේ.

රහස් සඳෙස්

5 Comments

පහුගිය දවසක කන්තෝරුවේ වැඩකට නොදන්නා භාෂාවක යුනිකේත අමුණ අමුණ ඉද්දි පොඩි කාලේ රහස් භාෂා එක්ක ඔට්ටු වුණු හැටි සංචාරකයාට මතක් වුණා. ඒ මතකයන් ටිකක් තමයි අද ලියන්න යන්නේ.

රහස් කේතනය ගැන සංචාරකයාගේ මතකයේ රැඳිච්ච පොත් කිහිපයක් තියෙනවා.  පළමුවැන්න තමයි ‘ප්‍රහේලිකා’ කියලා පොතක්. කතුවරයා නම් මතක නෑ [මතක කෙනෙක් ඉන්නවා නම් කරුණාකරලා කමෙන්ටුවක් දාන්න]. 1960 දශකයේ වගේ තමයි මුද්‍රණය කරල තිබ්බේ. ගණිතයට උනන්දුවක් දක්වන අයට ඉතාමත් හොඳ පොතක්. දෙදාහ අවුරුදුවල මුල් කාලේ අලුත් මුද්‍රණයක් ආවා වගේ මතකෙකුත් තියෙනවා. ඔය පොතේ තිබුණා සිංහල භාෂාවෙන් හදපු තවත් රහස් භාෂා සහ පණිවිඩ ගණනාවක්.

දෙවැන්න තමයි ‘රන් මකුණා සහ වෙනත් කතා’. මෙහි අන්තර්ගත වෙන්නේ ඒඩ්ගා ඇලන් පෝ විසින් රචිත කෙටි  කතා කිහිපයක්. සිංහලයට පරිවර්තනය කරන්නේ කේ.ජී කරුණාතිලක මහත්මයා.  මෙහි ‘රන් මකුණා’ කියන කතාවේ තියෙනවා ඉංග්‍රිසි හෝඩියට ආදේශක හෝඩියක් භාවිතා වන රහස් පණිවිඩයක් කියවා ගන්නා ආකාරය පියවරෙන් පියවර.  ඉංගිරිසි භාෂාවෙන් ලියපු ලියවිල්ලක අකුරු තියෙන සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාතයක් තියෙනවා. වැඩියෙන්ම තියෙන්නේ ‘e’ අකුර. කතාවේ හැටියට නම් ඊළඟට එනනේ ‘a’ අකුර, හැබයි පහත විකි පිටුවේ හැටියට නම් ඊළඟට තියෙන්නේ ‘t’ අකුර.

http://en.wikipedia.org/wiki/Letter_frequency

මේ විදියට අකුරුවල සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතය පාවිච්චි කරලා ඉංග්‍රිසි භාෂාවෙන් ගොඩනඟලා තියෙන රහස් පණිවිඩයක් විසඳන්න පුළුවන්. මේ අකාරයටම ෂර්ලොක් හෝම්ස් ආදේශක ගැටළුවක් විසඳනවා සර් ආතර් කොනන් ඩොයිල්ගේ ‘The Adventure of the Dancing Men’ කතාවේ. මේකේ පැහදිලි කරනවා අර උඩින් කියපු දෙවෙනි අකුරේ නොගැලපීමට උත්තරේ.  සිංහල භාෂාවට මේ වාගේ අධ්‍යනයක් වෙලා තියෙනවද කියලා සංචාරකයා දන්නේ නෑ. හැබැයි වැඩේ ටිකක් සංකීර්ණ වෙයි කියලා හිතෙනවා. මොකද ඉංග්‍රිසි භාෂාවේ නම් ස්වරාක්ෂරවලට සහ ව්‍යඤ්ජනාක්ෂරවලට වෙන වෙනම අකුරු තියෙනවා. සිංහල භාෂාවේ ව්‍යඤ්ජනාක්ෂරයක් සහ ස්වරාක්ෂරයක් එක්වීමෙන් සෑදෙන ශබ්දයට වෙනම අකුරක් තියෙනවා. එතකොට හිතන්න යමක් තියෙනවා, සිංහල භාෂාවේ වැඩියෙන්ම භාවිතාවන ව්‍යඤ්ජනාක්ෂරය මොකක්ද? ඉංග්‍රිසිවල නම් ‘t’ අකුර. ඒක වෙන්නේ ‘the’ කියන වචනේ බහුලව භාවිතා වෙන හින්දා වෙන්න ඕනේ.

මීට වඩා වෙනස් ආකාරයක, සරල රහස් පණිවිඩයක් ෂර්ලොක් හෝම්ස් විඳනවා ‘The Gloria Scott’කියන කතාවේ. මෑත කාලීනව ආපු ඩෑන් බ්‍රවුන්ගේ පොත්වල මේ වාගෙ පණිවිඩ විශාල සංඛ්‍යාවක් අන්තර්ගත වෙනවා.

තවත් දෙයක් තියෙනවා නොකියාම බැරි, ඒ තමයි ඡායාරූප භාවිතා කරල පරිඝණක ඇසුරෙන් රහස් පණිවිඩ යවන්න පුළුවන්. වැඩිය විස්තර ලියන්න මේ ලිපිය ගොඩක් දික් වෙනවා. උනන්දුවක් තියෙන අය පහත විකි පිටුවෙන් බලන්න. ඔන්න ඔය උඩින් තියෙන ඡායාරූපයේ නම් එහෙම පණිවිඩ මොකුත් නෑ.

http://en.wikipedia.org/wiki/Steganography

අවසාන වශයෙන් සංදේශ කාව්‍යයයක එන කවියක් සුප්‍රසිද්ධ රහස් කේතන ක්‍රමයක් භාවිතා කරලා සංචාරකයා කේතනය කලා. උත්සාහයක් දාලා බලන්න කැමති අය.

වසනඅ දිවනරෙදිල මිසලසිගව න්හැතු

සොල්බඅ බනිමිනුතුල මසුණිල්රපු න්න්වි

පරන්අ තවගියෙවැල සඅරිටිටෙක න්නැන

විත්රිඅ ලිරපවේවිඅ කුසුලනිමල න්වැඬ

ප.ලි: ලිපිය පටන් ගද්දී නම් කලින් දවසක කියපු ප්‍රථමක සංඛ්‍යයා සහ අංක ගණිතයේ මූලික සිද්ධාන්තය ඇසුරෙන් ගොඩ නැඟෙන Public-Key Encryption ගැන ලියන්න හිතන් හිටියත් ලිපිය දික් වුණු නිසා අදහස අත ඇරලා දැම්මා. ඒ ගැන ඉදිරි ලිපියකින් ලියන්න සංචාරකයා බලාපොරොත්තු වෙනවා.

වැසි මිනිසා සහ කිරිබත් කැපීම

2 Comments

පහුගිය සිකුරාදා සංචාරකයා බ්ලොගයේ සංඛ්‍යාන දත්ත බලද්දි හදිස්සියේම hits වැඩි වෙලා තියෙනවා දැක්කා. සාමාන්‍යයෙන් සංචාරකයාගේ බ්ලොග් සටහනට hits එන්නේ ලිපියක් දාපු දවසක සහ එයින් පසු දින 2-3ක් යනකන් විතරයි. එහෙම බලද්දි මේක සම්පූර්ණයෙන්ම Outlier එකක්, සංඛ්‍යාන භාෂාවෙන්ම කියනවා නම්.

බලද්දි ටැබූගේ බ්ලොග් අඩවියෙන් හෝ ගාලා කට්ටිය එනවා. අවංකවම ඒ වෙලේ හිතට ආපු අදහස තමයි සංචාරකයාගේ නමින් කවුරු හරි කමෙන්ටුවක්වත් දාලාවත්ද කියලා. දඩිබිඩි ගාලා ගිහින් බලද්දී තමයි දැක්කේ ටැබූගේ 2010 වසරේ හොඳම බ්ලොග් ලැයිස්තුවේ සංචාරකයගේ බ්ලොග් සටහනටත් පුංචි ස්ථානයක් හම්බ වෙලා තියෙනවා කියලා. හිතට ආපු සංතෝෂය ගැන ආයේ ඉතින් වෙනම කියන්න ඕනේ නෑ නේ. ලාංකීය බ්ලොග් ක්ෂෙත්‍රයේ දැවන්තයෙක් වන ටැබූ, සංචාරකයාගේ බ්ලොග් සටහන පැත්තේ එනවා ඇති කියලා සංචාරකයා නිකමටවත් හිතුවෙ නෑ. ටැබූගේ ඇගයීම සංචාරකයාගේ ඉදිරි ගමනට ඉමහත් දිරියක්. ඒ සම්බන්ධයෙන් ටැබූට සංචාරකයා ස්තුතිවන්ත වෙනවා.

දැන් එමුකෝ අද ලිපියට. මේක ලියන්න හේතු වෙන්නේ ඊයේ පෙරේදා රූපවාහිනියේ බලපු චිත්‍රපටියක තිබුණු ජවනිකාවකුයි. චිත්‍රපටියේ නම Rainman. චිත්‍රපටිය මුලින්ම තිරගත වෙන්නේ 1988 දී. දශක දෙකකටත් වඩා පරණ වුණත් කතාව නම් හැමදාටම අදාළයි කියලා තමයි සංචාරකයාට හිතෙන්නේ. ප්‍රධාන චරිත දෙක වන්නේ  චාලි [Tom Cruise] සහ  රේමන්ඩ් [Dustin Hoffman].  මේ දෙදෙනා සොහොයුරන්, රේමන්ඩ් තමයි වැඩිමලා. හැබැයි චාලි තමන්ගේ වැඩිමහල් සොහොයුරා ගැන දැන ගන්නේ පියා තමන්ගේ කාර් එක ඇරෙන්න අනික් සියළුම දේපල උරුම රේමන්ඩ් ට කරලා මිය ගියාට පස්සෙයි. මෙහි රේමන්ඩ්, Autism කියන මානසික රෝගයෙන් පෙළෙනවා.  ඔහු සාමාන්‍ය පුද්ගලයෙකුට නොමැති මතක ශක්තියකින් සහ ගණිත හැකියාවකින් යුක්තයි. හැබයි ඔහුට සමාජයයීය දැනුමක් ඇත්තේම නැති තරම්.  තවම බලන්න බැරි වුණත් අහලා තියෙන විදියට ‘My Name is Khan’ කියන සුප්‍රසිද්ධ බොලිවුඩ් චිත්‍රපටියෙත් මීට ආසන්න රෝගී තත්වයක් ගැන සබැඳුමක් තියෙනවා.

කතාව ගොඩනැඟෙන්නේ පියාගෙන් රේමන්ඩ් ට උරුම වුණු දේපල ලබා ගැනීමෙන් අදහසින් චාලි රේමන්ඩ්ව පැහැර ගැනීමෙන් පසු ඇතිවන සිද්ධීන් ඇසුරෙනුයි. මුලින්ම රෝගී රේමන්ඩ් ගේ හැසිරීමෙන් චාලි කෝප වුණත් පසුව තත්වය තේරුම් අරගෙන ඔහුව සුව කරන්නත්, තමා ළඟින් තබා ගන්නත් අවංක උත්සාහයක් ගන්නවා. මේ රෝගී තත්වය තියෙන අයගේ එක් ලක්ෂණයක් තමයි වෙනස් වීමට තියෙන බිය. ඒ නිසා රේමන්ඩ්  නිදා ගන්නේ එකම වෙලාවට, කන්නේ එකම දේවල්. උදාහරණයක් විදියට ඔහු බදාදා දවල් ආහාරයට ගන්නේ fish sticks 8ක්. ඉතින් එක බදාදා දවසක චාලි  ඕක දන්නේ නැතුව  fish sticks 4ක් ගේනවා. රේමන්ඩ් කන්නේ නැතිව බරබරයක් දානවා 8ක් නෑ කියලා. චාලිත් මීටරේ දාලා මොකක්ද මන්දා අරගෙන sticks 4 මැදින් කපලා 8ක් කරලා කන්න කියනවා. රේමන්ඩ්ට ඕනේ sticks 8ක්, ඒවාගේ ප්‍රමාණය වැදගත් නෑ. ඉතින් ඔහු සද්දයක් නැතුව ඒ ටික කනවා.ඔය ජවනිකාව දැක්කාම සංචාරකයාට පොඩි ගණිත ගැටළුවක් මතක් වුණා.

ඒ තමයි, රවුමට සකස් කරපු කිරිබතක් දෙන ලද සරල රේඛීය කැපුම් ගාණකින් කපන්න පුළුවන් වැඩිම කෑලි ගණන කීයද කියන එක. මෙහි කෑලි වල ප්‍රමාණය එකම වීම අත්‍යවශ්‍ය නෑ. වඩාත් පැහැදිලි වෙන්න පහත රූප සටහන් බලන්න. [රවුම් කිරිබතක් හොයන්න සංචාරකයාගේ ඡායාරූප එකතුවම පීරුවත් එකක් තිබ්බේ නෑ. අන්තිමට උඩින් දාලා තියෙන මල් රවුම හම්බ වුණා]

එක කැපුමකින් නම් ගන්න පුළුවන් කොටස් සංඛ්‍යාව දෙකයි. දෙකකින් කපන්න පුළුවන් ආකාර දෙකක් තියෙනවා. එකවිදියකට  කොටස් තුනක් ලැබෙන අතර අනික් ව්දියට කොටස් 4ක් ලැබෙනවා. එතකොට කැපුම් දෙකකින් ගන්න පුළුවන් උපරිම කොටස් සංඛ්‍යාව 4 යි. මේ විදියට කැපුම් 3කින් කොටස් 7ක් ගන්න පුළුවනි.

වඩාත් සාධාරණ උත්තරයක් හොයනවා නම්,  එතකොට කැපුම් n වලින් ගන්න පුළුවන් උපරිම කොටස් සංඛ්‍යාව කීයද? ඒක (n2+n+2)/2වෙනවා. එවිට, කැපුම් ගණන 0 සිට n ට යන විට ගන්න පුළුවන් උපරිම කොටස් ගණන එන්නේ මෙන්න මේ ව්දියටයි.

1,2,4,7,11, 16, 22, 29, 37, …………………

මෙහි ඔප්පු කිරීම ඉතාමත් සරලයි. අවශ්‍ය කෙනෙක් පහත විකි පිටුවෙන් බලන්න.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lazy_caterer’s_sequence

ප.ලි: චිත්‍රපටිය Rainman කියලා නම් කරන්නේ පොඩි කාලේ චාලිට රේමන්ඩ්ට කියන නම කියන්න බැරිව Rainman කියන හින්දයි. නැතුව රේමන්ඩ්ට වැසි වස්සවන්න පුළුවන් හින්දා නෙවෙයි.

Older Entries Newer Entries