පොත් ප්‍රදර්ශනයේ කතා

2 Comments

අවුරුදු දෙකක්ම මග ඇරුණු පොත් ප්‍රදර්ශනය බලන්න සංචාරකයත් ගොඩ වැදුණා පටන් ගත්ත දවසෙම,ආයෙ දවසකුත් යන්න බලා ගෙන. එතන ඉද්දී වෙලාව යනවා දැනෙන්නෙම නැහැ, මේ සති අන්තයේ යන්නේ සම්පූර්ණම දවස ඉන්න බලාගෙන. කොහොමින් හරි මේ ලියන්න යන්නේ අහම්බෙන් දැකලා ගත්ත පොතක් ගැන සහ සංචාරකයා මුහුණ දීපු එක් සිද්ධියක් ගැන.

එක් ප්‍රදර්ශන කුටියක් තිබුණා ඒකේ ගොඩක්ම තිබුණේ ආතර් සී ක්ලාක් මහත්මයාගේ පොත්වල සිංහල පරිවර්තන. ආතර් සී ක්ලාක් මහත්මයාගේ බොහොමයක් පොත් කියවලා තිබුණත් ටිකක් කැරකී කැරකී හිටියේ ඔහුගේ විද්‍යා ප්‍රබන්ධවලට තියෙන ආසාවටම. එහෙම ඉද්දී දැක්කා පොතක් තියෙනවා “අවසන් සිද්ධාන්තය” කියලා. ලියලා තියෙන්නේ ආතර් සී ක්ලාක් සහ ෆෙඩ්‍රික් පෝල්. සිංහල පරිවර්තනය තත්සරණී බුලත්සිංහල. පසුකවරය දිහා බැලුවාම කතාවේ තියෙන්නේ “ෆර්මාගේ අවසන් ගැටළුව” විසඳන්න උත්සාහ කරන ශ්‍රි ලාංකික තරුණයෙක් ගැන සහ සමකාලීනව පෘථිවියට එල්ල වන පිටසක්වල ජීවීන්ගේ තර්ජනයන් ගැන. ඒ වගේම කියන්න ඕනේ මෙය ආතර් සී ක්ලාක් මහත්මයා ලියපු අවසාන විද්‍යා ප්‍රබන්ධයලු.

ඉතින් දෙපාරක් හිතන්නේ නැතුවම සංචාරකයා පොත මිලදී ගත්තා. ගණිතයට ආසා කරන අය අනිවාර්යයෙන් කැමති වෙන පොතක්. ගණිතයට සම්බන්ධ කතන්දර මෙන්ම විනෝදාත්මක ගණිත ගැටළු කිහිපයකුත් කතාව ඇතුලෙම තියෙනවා. ගන්න කැමති අයට පහත විස්තරය ප්‍රයෝජනවත් වෙයි.

ප්‍රදර්ශන කුටිය – G319

ප්‍රකාශකයින් – S & T Group

මිල – පොතේ ගහලා තියෙන්නේ රු.750 කියලා, හැබැයි වට්ටමක් හම්බ උනා හරියටම ගිය ගාන ඊට අඩුයි.

පොත ගැන වැඩි විස්තරයක් මෙතනදී සංචාරකයා සඳහන් කරන්නේ නෑ, කියවන කට්ටියට අසාධාරණයක් වෙන නිසා. ඉතාම හොඳ පොතක් කියල විතරක් කියන්නම්.

ප.ලි – ප්‍රදර්ශනය බාගෙට බලලා අඳුරු වැටීගෙන එන වෙලාවේ පාරෙන් එහා පැත්තේ රථ ගාලේ නවත්වලා තිබුණු වාහනේ ගාවට ආපුවාම ළඟ හිටපු කෙනෙක් කියනවා ඉස්සරහ රොදේ හුළං බැහැලා යන්න බැරි වෙන තරමට කියලා. බලපුවාම කතාව ඇත්ත. හැබැයි රෝදේ Dust Cap එක තිබුණෙත් නැහැ. වෙලාවට සංචාරකයා ගාවා ජංගම පොම්පයක් තිබ්බා වාහනේ ලයිටර් එක ගහන තැනට ගහලා වැඩ කරන්න පුළුවන්. එහෙම ගහලා ගෙනාවත් හරි ආයෙ නම් හුළං බැස්සේ නෑ දවස් 5ක් ගිහිල්ලත් !!!!

පරෙවි කූඩු සිද්ධාන්තය

2 Comments

කළින් දවසක සංචාරකයා ලිව්වනේ සම්භාවිතාවය ගැන පුංචි කතන්දරයක්. ගණිතයේ එන “සංකරණ සහ සංයෝජන” ගැනත් සංචාරකයාගේ අත්දැකීම් ඊට සමානයි. මේ ලිපියෙන් ලියන්න යන්නේ ඒ දෙපැත්තටම සම්බන්ධ පොඩි බට්ටා සිද්ධාන්තයක් ගැන.

පොඩි කාලේ අහපු මේස් ගැටළුව මතකද? ආයේ මතක් කරනවා නම් කළුවර කාමරයක තියෙන පෙට්ටියක පාට දෙකක මේස් තියෙනවා. එකම පාටෙන් මේස් දෙකක් ගන්න නම් අඩුම වශයෙන් මේ කීයක් ගන්න ඕනෙද? සරලයිනේ, උත්තරය තුනයි. මෙන්න මේ වගේ ගැටළු පිටිපස්සේ තියෙන සිද්ධාන්තයට තමයි පරෙවි කූඩු සිද්ධාන්තය [Pigeonhole Principle]කියල ගණිතයේ කියන්නේ.

පරවියෝම අරගෙන මේ සංකල්පය පැහැදිලි කරනවා නම් මෙයින් කියන්නේ n>m වෙලාවට පරවියෝ n සංඛ්‍යාවක් කූඩු m සංඛ්‍යාවකට දානවා නම් එක කූඩුවක හරි පරවියෝ එකකට වැඩිය ඉන්නව කියලයි.  බැලූ බැල්මට නම් වෙනම ගණිත සිද්ධාන්තයක් විදියට අර්ථ දක්වන්න තරම් දෙයක් මෙතන නෑ. හැබැයි මේක පාවිච්චි කරල හිතන්නේ නැති විදිය ප්‍රතිඵල ලබා ගන්න පුළුවන්.

සරල උදාහරණයක් කියනවා ක්‍රිකට් කණ්ඩායමක ක්‍රීඩකයෝ දෙදෙනෙක්වත් ඒකම සතියේ දවසක [සඳුදා, ……., ඉරිදා] ඉපදුණු අය වෙනවා. මොකද සතියේ දවස් 7ක් තියෙන්වා [m=7 යි]. කණ්ඩායමට ක්‍රීඩකයෝ 11ක් ඉන්නවා [n=11]. එතකොට පරෙවි කූඩු සිද්ධාන්තය [n>m නේ මෙතන] අනුව ඒක සතියේ දවසක ඉපදුණු ක්‍රීඩකයෝ දෙන්නෙක් ඉන්නවා.

තවත්  උදාහරණයක් ගත්තොත් ඕනෑම ධන නිඛිල 6ක් ගත්තොත් අනිවාර්යයෙන් එවා දෙකකවත් අන්තරය 5න් බෙදෙනවා කියන එක.  ඕනෑම ඉලක්කමක් 5ක් බෙදුවාම ඉතිරි වෙන්න පුළුවන් ඉලක්කම් 5ක් තියෙනෙවානේ [0,1,2,3,4].  ඒ කියන්නේ m=5 යි. ඉලක්කම් 6ක් තිබෙන නිසා n=6 යි. එම නිසා ඉලක්කම් දෙකක්වත් තියෙනවා 5න් බෙදුවාම එකම ශේෂයක් ඉතුරු වෙන. එතකොට ඒ ඉලක්කම් දෙක මෙහෙම ලියන්න පුළුවන් නේ.[උදාහරණයක් විදියක්ට 4ක් ඉතිරි වෙන ඉලක්කම් දෙකක් තියෙනව කියල ගම්මුකෝ]

5a+4, 5b+4

එතකොට මේ ඉලක්කම් දෙකේ අන්තරය වෙන්නේ 5(a-b). ඒ කියන්නේ අන්තරය 5න් බෙදෙනවා.

හිතට ආපු ඉලක්කම් 6ක් අරන වැඩේ කරලා බලමු.

23, 45, 67, 86, 12, 46

23=5(4) + 3

45=5(9) + 0

67=5(13) + 2

86=5(17) + 1

12=5(2) + 2

46=5(9) + 1

67යි 12යි දෙකම 5න් බෙදුවාම දෙකක් ඉතුරු වෙනවා. 67න් 12ක් අඩු කළාම එන 55 5න් බෙදෙනවා.

මෙම සිද්ධාන්තය මීට වඩා ගොඩාක් සංකීර්ණ ගැටළු විසඳන්න පාවිච්චි කරන්න පුළුවන. චෙස් පුවරුවක් සම්බන්ධ කරලා හරිම අපූරු ගැටළුවක් එහෙම තියෙනවා. උනන්දුවක් තියෙන අය අන්තර්ජාලයේ හොයලා බලන්න.

ප.ලි:Pigeonhole’ කියන ඉංග්‍රිසි වචනෙට හරිම සිංහල වචනය සංචාරකයා දන්නේ නෑ. හිතට ආවට පරෙවිකූඩුව කියල දැම්මට මේක කුඩා ලාච්චුවක් වගේ දෙයක් හඳුවන්න පාවිච්චි කරන වචනයක්. හරිම සිංහල වචනය දන්න කෙනෙක් ඉන්නවා නම් දාන්න.

රුසියනු පොත් මතක සහ අප්‍රසිද්ධ ගණනය කිරීමක්

1 Comment

ලියන්න පටන් ගද්දිම හිතෙනවා ලිපිය ටිකක් දික් වෙයි කියලා. මේ ලිපිය ලියන්න නිමිති වෙච්ච කාරණා දෙකක් තියෙනවා. පළමුවැන්න තමයි සංචාරකයා දාපු පහුගිය ලිපි දෙකකටම ආපු කමෙන්ට්වල තිබ්බ රුසියානු පොත් ගැන සඳහන්. ඒවා දැක්කාම සංචාරකයටත් පොඩි කාලේ කියවපු රුසියානු පොත් මතක් වුණා.

සංචාරකයා පොඩි කාලේ රූප පිටු, ඝනකම් කවර තියෙන සිංහල පොත් හරිම අඩුවෙනුයි තිබ්බේ. ඇත්තටම කියනවා නම රුසියානු පොත් ඇරෙන්න එහෙම පොත් හොයා ගන්න තිබ්බෙම නැති තරම්. ඒ නිසාම රුසියානු පොත් ඒ කාලේ ගොඩාක් ජනප්‍රිය වුණා. රුසියානු පොත් ජනප්‍රිය වෙන්න අනික හේතුව තමයි ඒවයේ මිල සාපේක්ෂව අඩු වීම.

ඔය අතරින් සංචාරකයාගෙ මතකයේ රැඳිණු පොත කිහිපයක් තියෙනවා. ඒවා තමයි ‘හරිත වර්ණ දූපත’,’ ලස්සන මාළුවෝ’,’මිනිසුන් පෘථිවියේ හැඩය සොයා ගත් හැටි’ සහ ‘සීයාගේ ඇස් කණ්ණාඩි’. මේ පොත් ඔක්කොම ඝනකම් කවරයක් සහිතව ඔප කඩදාසියේ මුද්‍රණය කරපුවා. ඒවාගේ තිබ්බ වර්ණවත් රූප හරියට මැජික් වගේ, ඇයි ළමා පත්තර ඒ කාලේ මුද්‍රණය කලේ සාමාන්‍ය කඩදාසියේ. පොත් ගන්න ඒ කාලේ තිබුණු ඒකම ක්‍රමය තමයි පොත් ප්‍රදර්ශන, තාම හොඳට මතකයි තාත්තා ’මිනිසුන් පෘථිවියේ හැඩය සොයා ගත් හැටි’ පොත අරන් දුන්නේ මහපොළ ප්‍රදර්ශනයකදී. අනික් පොත් අම්මාගේ අනුග්‍රහයෙන් ඉස්කොලේ තිබුණු පොත් ප්‍රදර්ශන වලින් තමයි ගත්තේ.  හරියට ගාන බලා ගන්නේ නැතුව අම්මාගෙන් සල්ලි ඉල්ලගෙන ගිහිල්ලා ‘හරිත වර්ණ දූපත’ ගන්න සල්ලි මදි වුණු හැටි තාම මතකයි. ඒක ගන්න ඊළඟ අවුරුද්දේ පොත් ප්‍රදර්ශනය එනකන් ඉන්න වුණා.  මේ පොත්වල අනුවාදකයා ‘දැදිගම වී රුද්‍රිගු’ මහත්මයා නේද? හරියටම මතක කෙනෙක් ඉන්නවා නම් කරුණාකරලා කමෙන්ට් එකක් දාන්න.

කොහොම හරි ඔය කියන ’මිනිසුන් පෘථිවියේ හැඩය සොයා ගත් හැටි පොතේ එක තැනක තියෙනවා පුංචි ගණනය කිරීමක් දාලා එරටොස්තීනස් කියන ග්‍රීක ගණිතඥයා පෘථිවියේ අරය ආසන්නව හොයන හැටි. ඔය පොත කියවන කාළේ නම් ඔය ගණනය කිරීම තෙරුණේ නෑ.

මේ ගණනය කිරීමේ සෑහෙන දෝෂ තිබුණත් මෙය උපකල්පන මත කරන ආසන්න ගණනය කිරීම වලට ඉතාම හොඳ උදාහරණයක්. ටිකක් ප්‍රසිද්ධ ගණනය කිරීමක් හින්දා මේ ගැන මේ ලිපියේ දාන්න සංචාරකයා බලාපොරොත්තු වෙන්නේ නෑ.

දැන් එමුකෝ මේ ලිපිය දාන්න හේතු වුණු දෙවෙනි කාරණය. එයේ පෙරේදා ඩිස්කවරි චැනල් එකක් දිගින් දිගටම විකාශය වුණා ‘Into the Universe with Stephen Hawking’ කියන වැඩසටහන් මාලව.  මේක සංචාරකයාට හිතුණු විදියට නම් ඉතාම හොඳ වැඩසටහන් මාලවක්. ආචාර්යය ස්ටීවන් හෝකින් ඔහුගේ සංස්ලේශ කටහඬින් හැමෝටම තේරෙන විදියට විශ්වයේ ආරම්භය, පිටසක්වළ ජීවය, කාල තරණය, පෘථිවියේ ජීවයේ ආරම්භය ගැන කියලා දෙනවා. ඉතින් මේක බලලා ත්‍රිල් පිට සංචාරකයා ආචාර්යය ස්ටීවන් හෝකින්ගේ අළුත්ම පොත වන ‘The Grand Design‘ ගත්තා. ගත්තාට මොකද ඒක රූපවාහිනී වැඩසටහන් මාලාව තරම්ම සරල නෑ.  වැටහෙන ප්‍රමාණය අඩු වුනත් පොඩ්ඩ පොඩ්ඩ අමාරුවෙන් ඇදගෙන යනවා තාම. මේ පොතේ එක තැනක තියෙනවා කියන Aristarchus ග්‍රීක ගණිතඥයා පෘථිවියේ, හඳේ සහ සූර්යයාගේ සාපේක්ෂ විශාලත්වයන් සහ ඒවා අතර සාපේක්ෂ දුරවල් හෙව්වා කියලා. මේක ගැන ඉතින් සංචාරකයා ඉන්න ගමන් අන්තර්ජාලයේ හොයලා බැලුවා.

ඔහු හොයාගෙන තියෙනවා අඩ හඳ පේන දවසට පෘථිවිය, සූර්යයා සහ චන්ද්‍රයා  සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පිහිටන බව. මේ වාගෙ දවසක පෘථිවිය සහ සූර්යයා අතර කෝණය ඔහු මැනලා තියෙනවා 870 කියලා. දැන් එතකොට මේ වගේ රූපයක් ගොඩ නඟන්න පුළුවන්නේ.

අපි  දුරවල් අතර අතර අනුපාතය ගණනය කරනවා නම්,

s.cos (870) =l

(s/l) = sec (870) =19.11

ඒ කියන්නේ පොළවේ සිට සූර්යයාට තියෙන දුර පොළවේ සිට හඳට තියෙන දුර ප්‍රමාණය වගේ 19 ගුණයක් කියලයි. හැබයි ඇත්ත අනුපාතය 390ක් වෙනවා. වෙනසට හේතුව තමයි කෝණය මිනීමේදී ඇති වෙලා තියෙන අඩුපාඩුව. සැබෑ කෝණ‍ය 900ට ඉතාමත් ආසන්නයි.  සෙක් ශ්‍රිතය කෝණය 900 කරා එලඹෙද්දී අනන්තයට යන නිසා ඉතා සුළු මිනුම් දෝෂයක් විශාල වෙනසක් ඇති කරනවා.  කියන්න ඕනේ අනික කාරණය තමයි ඔහු ජීවත් වුණේ ක්‍රි.පූ 310-230 කාලයේ. මේ වෙද්දී ත්‍රිකෝණමිතිය බිහිවෙලා තිබ්බේ නෑ. ඒ කියන්නේ අනුපාතයේ අගය ඉහත විදියට නෙවේ හොයලා තියෙන්නේ, ජ්‍යාමිතික ක්‍රමයකින්.

ඔහුගේ ගණනය කිරීම ගැන සම්පූර්ණ විස්තරය විකිපීඩියා පිටුවෙන් ගන්න පුළුවනි.

http://en.wikipedia.org/wiki/Aristarchus_On_the_Sizes_and_Distances

ටීචර්ගේ චිත්‍රය සහ ෆෙඩ්‍රික් ගවුස්

1 Comment

ඔන්න එකෝමත් එක රටක ටීචර් කෙනෙකුට උගන්නන්න කම්මැලි හිතිලා ළමයින්ට කිව්වාලු හොඳ ළමයි වාගේ තමන්ට කැමති ලස්සන චිත්‍රයක් අඳින්න කිව්වාලු. පොඩි එවුන් ටික ඉතින් පාඩුවේ වැඩේ පටන් ගත්තාලු. හැබැයි පන්තියේ හිටපු එක අණ්ඩපාල කොලු ගැටයෙකුට ටීචර් එන පොට තේරිලා කොලයක් අර ගෙන එහෙන් මෙහෙන් නිල් පාට ගාල ටීචර් ළඟට දිව්වලු. ටීචර්ට අසූ හාරදාහට තද උණාලු, ඇයි දෙය්යනේ වැඩේ දුන්නා විතරයිනේ.

“මේ මොකක්ද මේ ඇඳලා තියෙන්නේ”

“ටීචර් මම අහස ඇන්ඳා” කියල පොඩි එකා කිව්වලු. කාට කියන්නද…..!!

ඕක හැමෝම දන්න කතාවනේ, මේ ලිපියෙන් ලියන්න යන්නේ සුප්‍රසිද්ධ ගණිතඥයෙක් වන ෆෙඩ්‍රික් ගවුස්ට කුඩා අවදියේදී මේ වගේ වැඩක් දීලා ගවුස්ගේ ගුරුතුමාට වෙච්ච හදියක් ගැනයි. ෆෙඩිරික් ගවුස් ගැන ආයේ අමුතුවෙන් කියන්න දෙයක් නෑ නේ,ගණිතයේ සහ භෞතික විද්‍යාවේ නිතරම කියවෙන නමක්නේ. මීට කලින් ලිපියකත් සංචාරකයා ගවුස් ගැන පුංචි සඳහනක් දැම්මානේ. මේ කතාව ප්‍රසිද්ධ වුණාට මේකේ ඇත්ත නැත්ත නම් හරියටම තහවුරු වෙලා නෑ.

දවසක් ගවුස් පන්තියේ දඟ කරන නිසා ගුරුතුමා ගවුස්ට කිව්වලු එකේ ඉඳලා සීය දක්වා ඉලක්කම් වල එකතුව හොයන්න කියලා. වෙන විදියකට කියනවා නම් මෙන්න මේක තමයි හොයන්න කිව්වේ.

1 + 2 + 3 + …………. + 98+ 99+100 =??

කුඩා ගවුස් පට ගාලා උත්තරේ කිව්වලු 5050 කියලා, ගුරුතුමාට ඇඩ්‍රස් නෑ. කතාවේ සඳහන් වෙන්නේ නෑ ගුරුතුමා හරි උත්තරේ දැන ගෙනද ගැටළුව දුන්නේ කියලා, නැත්නම් එහෙම මාර ප්‍රශ්නේ නේ, ඇයි දැන් එකතු කරලා බලන්න වෙන්නේ ගුරුතුමාට. අර හරියට ලොකේ මැද මෙතන. ඔනේ නම් මැනලා බලන්න කියල කව්ද මන්දා රජ කෙනෙකුට කිව්වේ පොඩි කාලේ අහපු කතාවක.

කොහොම හරි ගවුස් උත්තරය හොයා ගන්න භාවිතා කලේ හරිම සරල ක්‍රමයක්. [මෙතන වඩා වැදගත් මෙම ගණනය කිරීම කරන විට ගවුස් ඉතා කුඩා අවදියේ පසු වීමයි, මොකද ගණිතය තරමක් දුරට ඉගෙන ගත්ත කෙනෙක් නම් අර n සූත්‍රය දාලා උත්තරේ ගන්න පුළුවන්නේ.] ගවුස් දැක්කා මුලින් සහ අගින් පදය බැගින් ගත්තාම එකතුව එක සමානයි කියලා.

ඒ කියන්නේ,

1+100=101

2+99=101

3+98=101

.

.

.

.

50+51=101

එතකොට උත්තරේ වෙන්නේ 50 x 101 =5050. හැදෙන ගහ දෙපෙත්තෙන් දැනේ කිව්වලු !!!. ඒ හින්දා පොඩි අයට පොඩි පොඩි බොරු වැඩ දෙනකොට බලාගෙනයි.

මතක ප්‍රථමක මතක

2 Comments

ප්‍රථමක සංඛ්‍යා තරම් ගණිත ලෝකයේ කතාබහට ලක්වුණු ඉලක්කම් වර්ගයක් තවත් නැතුව ඇති. ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ගැන ලියන්න බොහෝ කරුණු තියෙනවා. මේ ලිපියෙන් ලියන්න යන්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා සම්බධයෙන් එන සුප්‍රසිද්ධ අනුමිතින් දෙකක් ගැනයි.

පහේ ශිෂ්‍යත්ව පංතිවලදී ඉගෙන ගත්තා මතක ඇතිනේ එක හැරුණු කොට අනික් ඕනෑම ඉලක්කමක් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා එකක හෝ කිහිපයක් ගුණිතයක් විදියට ලියන්න පුළුවන් බව. හැබැයි මේකට අංක ගණිතයේ මූලික සිද්ධාන්තය [Fundamental Theorem of Arithmetic] කියලා කියනවා කියලා සංචාරකයා දැන ගත්තේ පාසල් ජීවිතයත් හමාර වුණාට පස්සේ. මෙහි සාධනය මුලින්ම යුක්ලිඩ් විසින් ඉදිරිපත් කරලා තියෙනවා. වඩාත් නිවැරදි සාධනයක් පසු කාලීනව ෆෙඩ්‍රරික් ගවුස් විසින් ගොඩ නඟලා තියෙනවා. ඊළඟට කියන්න තියෙන්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා අනන්ත සංඛ්‍යාවක් තියෙනවා කියන එකයි. මේකටත් බොහොම අපූරු සරල සාධනයක් ඉදිරිපත් කරල තියෙනවා යුක්ලිඩ්. දැන් ලියනවා කියපු අනුමිතින් දෙකට එමුකෝ.

පළමු අනුමිතිය තමයි, නිවුන් ප්‍රථමක අනන්ත සංඛ්‍යාවක් තියෙනවා කියන එක (Twin Prime Conjecture). නිවුන් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කියලා කියන්නේ වෙනස 2ක් වෙන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වලටයි.

උදාහරණයක් විදියට 3 සහ 5 දැක්විය හැකියි.

වඩාත් විශාල උදාහරණයකට යනවා නම් 7877 සහ 7879 දැක්විය හැකියි.

ඊටත් වඩා විශාල උදාහරණයකට යනවා නම් 15485651 සහ 15485653 දැක්විය හැකියි.

මේ විදියට තමන්ට කැමති තරම් විශාල නිවුන් ප්‍රථමක යුගල හොයා  ගන්න පුළුවන්. පරිඝනක ඇසුරින් මෙසේ අවශ්‍ය තරම් විශාල ප්‍රථමක යුගල සොයා ගන්න පුළුවන් වුණාට මෙවැනි යුගල අනන්තයක් තියෙනවා කියලා තාම ගණිතමය සාධනයක් ඉදිරිපත් වෙලා නෑ. මේක මුලින්ම ඉදිරිපත් කළේ කව්ද කියන එක නම් ට්කක් විවාදාපන්නයි. සංචාරකයා ඒ ගැන කියන්න වැඩිය දන්නේ නැති නිසා මෙහි ලියන්නේ නෑ.

දෙවෙනි අනුමිතිය තමයි  Goldbach’s conjecture කියන එක. මෙයින් කියන්නේ ඕනෑම ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවක් [2 හැර] ප්‍රථමක සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවක් විදියට ලියන්න පුළුවන් කියලයි.

උදාහරණ විදියට

24=23+2

100=47+53

100000= 1103+98897

මෙය මුලින්ම ලොවට ඉදිරිපත් කරලා තියෙන්නේ ජර්මානු ජාතික ගණිතඥයෙක් වන Christian Goldbach. හැබැයි මුල් ඉදිරිපත් කිරීම නම් ටිකක් විතර වෙනස්, මොකද ඒ කාලේ 1ත් ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් විදියෙට ගණන් අරගෙන තියෙන නිසා.

ප.ලි: කළින් දවසක් ලියපු සිප ගන්න වෘත්ත ලිපිය මතක ඇතිනේ. ඒ ලිපිය ලියද්දී එහෙම සැකසූ වෘත්ත ඇසුරෙන් රටාවක් දාන්න හිතන් හිටියත් කාල වෙලාව මදි නිසා කර ගන්න පුළුවන් වුණේ නැහැ. Mathematica එක්ක පොඩ්ඩක් ඔට්ටු වෙලා එකක් හදා ගත්තා. ඒක තමයි මේ පහතින් තියෙන්නේ.


අදින් අවසන් වුණු ලෝක චෙස් ඔලිම්පියාඩ් තරඟාවලිය – 2010

6 Comments

සංචාරකයා ඉතාම අඩුවෙන් තමයි කාලීන ලිපියක් ලියන්නේ. චෙස් ඔලිම්පියාඩය ගැන ලියන්න හිතුවේ මේ ගැන ජාතික මෙන්ම අන්තර්ජාතික ජනමාධ්‍ය වල තිබුණු අඩු අවධානය හින්දයි. ලෝකයේ වඩාත් ප්‍රසිද්ධ පාපන්දු, බේස්බෝල්, පැසිපන්දු, ටෙනිස්, ගොල්ෆ් වගේ ක්‍රීඩා එක්ක බැලුවාම චෙස් ක්‍රීඩාව ඉතාම ළදරු මට්ටමක තියෙන්නේ.

මෙම තරඟාවලිය පැවැත්වුණේ බටහිර දිග රුසියාවේ තියෙන Khanty-Mansiysk නගරයේදියි.  රටවල් 153ක සහභාගීත්වයෙන් පැවති මෙම තරඟාවලියේ අංශ දෙකක් තිබුණා. ඒ තමයි විවෘත අංශය සහ කාන්තා අංශය.

තරමක් දුරට තියුණු මුහුණුවරක් ගත් විවෘත අංශයේ ශූරතාවය යුක්‍රේනය විසින් දිනා ගත් අතර දෙවන ස්ථානය රුසියානු එක කණ්ඩායම විසින් දිනා ගත්තා. තුන් වන ස්ථානයයට පත් වුනේ ඊශ්‍රායෙල් කණ්ඩායමයි. පසුගිය චෙස් ඔලිම්පියාඩ දෙකේ ලෝක ශූරයන් වූ ආමේනියාවට මෙවර හිමි වුනේ 7 වන ස්ථානයයි. යුක්‍රේනියානු ජයග්‍රහණයේ නියමුවා වුනේ පළමු පුවරුව ක්‍රීඩා කරමින් තරඟ වට 10කින් ලකුණු 8 ක් ලබා ගත් වැසිලි ඉවන්චුක් (GM Vassily Ivanchuk).

කාන්තා අංශයෙන් නම් රුසියානු එක කණ්ඩායමට තරඟයක් තිබුනේ නැති  තරම්. එක තරඟ වටයක් ඉතිරිව තිබෙද්දීම ජයග්‍රහණය තහවුරු වෙලා ඉවරයි. දෙවන ස්ථානය චීනයටත් තෙවන ස්ථානය ජෝජියාවටත් හිමි වුණා. මෙම අංශයෙන් පසුගිය වතාවේ ලෝක ශූරයන් වුණේ ජෝජියාවයි.

අවසාන ප්‍රතිඵලය දකිද්දී සංචාරකයාට හිතිච්ච දෙයක් තමයි කොහොමද සෝවියට් සමූහාණ්ඩුව චෙස් ක්‍රීඩාවෙන් මෙච්චර ඉදිරියට ආවේ කියලා. අද සෝවියට් සමූහාණ්ඩුව නැතත් විවෘත අංශයේ මුල් ස්ථාන 10න් 4කටත් කාන්තා අංශයේ මුල් ස්ථාන 10න් 5කටත්  හිමිකම් කියන්නේ බිඳුනු සෝවියට් සමූහාණ්ඩුවට අයත් රටවල්. අවසන් වට වලදී පසුබෑවත් අසර්බයිජානය සහ ජෝජියාවත් විවෘත අංශයේ  මුල් වටවලදී සෑහෙන ඉදිරියෙන් හිටියා. ඊළඟට දක්ෂතා දක්වලා තියෙන්නේ නැගෙනහිර යුරෝපියානු රටවල්. වඩාත් පැහැදිලි වෙන්න පහත වගුව සහ සිතියම බලන්න.

සිතියමෙන් දැක්වෙන්නේ අංශ දෙකේම මුල් ස්ථාන 10ට පැමිණි රටවල භූගෝලීය ව්‍යාප්තිය.

මෙම තරඟාවලිය නියෝජනය කරමින් විවෘත අංශයෙන් තරඟ වැදුණු ශ්‍රි ලංකා කණ්ඩායම 104 වන ස්ථානයටත් කාන්තා 75 වන කණ්ඩායම ස්ථානයටත් පත් වුණා. ඒ කණ්ඩායම් දෙකටම සංචාරකයා සුබ පතනවා. මෙම තරඟාවලියට අදාළ විස්තර තරඟාවලියේ නිල වෙබ් අඩවියෙන් ගන්න පුළුවන්.

http://www.ugra-chess.com

අර මැක්කගේ කතාව වගේ සංචාරකයාගේ ලිපි බොහෝ දුරට ගණිතයට සම්බන්ධයිනේ. මේ ලියන්න යන්නේ ගණිතයේ Topology කියන අංශයට අදාළ අමුතු සිදධාන්තයක් ගැනයි. මේක ලියන්න හිතුනේ අර උඩින් දක්වපු සිතියම පාට කරලා ඉවර උනාම. මේ ප්‍රමේයෙන් කියන්නේ තලයක අඳින ලද ඕනෑම  සිතියමක යාබද රටවල් වලට එකම පාට නොවෙන්න  පාට කරන්න අවශ්‍ය වෙන්නේ උපරිම වශයෙන් පාට 4යි කියලා. එක් පූර්ව අවශ්‍යතාවයක් තමයි එක රටක භූමි ප්‍රදේශය සන්තතික [contiguous] වීම. අනික තමයි මෙහි යාබද රටවල් කියන්නේ පොදු මායිමක් සහිත රටවල් වලටයි. ලක්ෂ්‍යයකදී හමු වන රටවල් මෙයට අදාළ නෑ. කතාව තේරුම ගන්න බලමු පහත රූප සටහන් එක්ක.

පළවෙනි රූපයේ රතු පාටින් දැක්වෙන කළාප දෙක එකම රටකට අයිති නම් මෙම ප්‍රමේය අදාළ වෙන්නේ නැහැ. අපේ ලෝක සිතියම ගත්තත් මෙහෙම රටවල් පිහිටලා තියෙනව. දෙවෙනි රූපයේ තියෙන A සහ B රටවල් දෙක යාබද රටවල් විදියට ගණන් ගන්න බෑ දෙවෙනි පූර්ව අවශ්‍යතාවය අනුව. මොකද ඒ රටවල් දෙකට තියෙන්නේ පොදු ලක්ෂ්‍යයක් විතරයි. පොදු මායිමක් නෑ.

“වර්ණ හතරේ” ප්‍රමේයෙන් කියන්නේ ඉහත අවශ්‍යතා දෙකම  සපුරන ඕනෑම සිතියමක් යාබද රටවල් එකම පාට නොවෙන්න පාට කරන්න අවශ්‍ය වෙන්නේ පාට හතරයි කියලා. උදාහරණයක් විදියට පහතින් දැක්වෙන රූපය බලන්න. වර්ණ 4කින් මුළු සිතියමම පාට කරලා තියෙනවා, හැබැයි යාබද රටවල් වලට එකම පාට නෑ.

මෙම ගැටළුව සම්බන්ධ අදහස මුලින්ම ඉදිරිපත් කරලා තියෙන්නේ දකුණු අප්‍රිකානු ජාතික ගණිතඥයෙක් සහ උද්භිද විද්‍යාඥයෙක් වන Francis Guthrie.  විශ්ව විද්‍යාලයීය ශිෂ්‍යයකුව ඉද්දී ඔහු වරක් එංගලන්තයේ ප්‍රාන්තවල සිතියමක් පාට කරන විට දැකලා තියෙනවා ඉහත සඳහන් කළ විදියට සිතියම පාට කරන්න අවශ්‍ය වර්ණ 4යි කියලා. ඔහු මෙය තමාගේ සොයුරු  Fredrick හරහා සුප්‍රසිද්ධ ගණිතඥයෙක් De Morgan වන වෙත යොමු කරලා තියෙනවා. මතක ඇතිනේ De Morgan, අර කුලක වාදයේ, බූලියානු වීජ ගණිතයේ එහෙම පාවිච්චි වෙන De Morgan නියම ඉදිරිපත් කලේ.

මේ සිද්ධිය වෙන්නේ 1852 දී. De Morgan හරහා මෙම ගැටළුව ගණිතඥයින් අතර පැතිරෙන්න ගත්තා. හැබැයි 1976 වන තුරුම මෙය අනුමිතියක් (Conjecture) ව්දියට තමයි තිබුණේ. කිසි කෙනෙකුට සාධනයක් ඉදිරිපත් කරන්න බැරි වෙලා තියෙනවා. අතරින් පතර සාධන කිහිපයක් ආවත් පසුකාලීනව ඒවගේ වැරදි හම්බ වෙලා තියෙනවා.අනුමිතියක් කියන්නේ බැලූ බැල්මට සත්‍යයක් විදියට පෙනෙන එහෙත් විධිමත් සාධනයක් නොමැති කරුණකුයි. මීට කළිනුත් සංචාරකයා ඒ වගේ අනුමිතින් දෙකක් ගැන කතා කරල තියෙනවා මතක ඇතිනේ. මතක නැත්නම් මෙන්න මේ යොමු දෙකන් බලන්නකෝ. (Kepler’s Conjecture, Collatz Conjecture)

දැනට 1976 දී ඉලිනොයිස් විශ්ව විද්‍යාලයේ Kenneth Appel සහ Wolfgang Haken විසින් පරිඝනක ඇසුරෙන් ඉදිරිපත් කරපු සාධනය නිවැරදි යයි පිළි ගැණෙනවා.

අංක 6174

4 Comments

කළින් ලිපියක ලිව්වානේ අංක 1729 යේ කතාව. අද ලියන්න යන්නේ ඒ වගේ තවත් ඉලක්කමක් ගැන. මේක සම්බන්ධව කතාවක් නම් නෑ.  කොහොමින් හරි මෙන්න මේකයි කරන්න ඕනේ.

1) ඕනෑම ඉලක්කම් 4 සංඛ්යාවක් ගන්න [හැබැයි ඔක්කොම එකම ඉලක්කම නොවන]

[උ.දා: – 4326 කියමු]

2)  දැන් සංඛ්යාවේ ඉලක්කම් එහා මෙහා කරලා හදන්න පුළුවන් විශාලම සංඛ්යාවත් කුඩාම සංඛ්යාවත් හදන්න.

විශාලම සංඛ්‍යාව හදන්න නම් ලොකුම ඉලක්කම දහස්ථානයටත් ඊළඟට ලොකුම ඉලක්කම සියස්ථානයටත් ආදී වශයෙන් ලිව්වාම හරි]

[මුලින් ගත්ත උදාහරණයට අනුව 6432]

කුඩාම සංඛ්‍යාව හදන්න අනික් පැත්තට ඉලක්කම් අසුරන්න.

[මුලින් ගත්ත උදාහරණයට අනුව 2346]

3) දැන් අළුත් සංඛ්යා දෙකෙන් ලොකු එකෙන් කුඩා එක අඩු කරන්න.

[උ.දා: – 6432 – 2346 = 4086]

4) ලැබුණු සංඛ්යාවට ආයෙමෙත් පියවර අංක දෙකේ සිට කර ගෙන එන්න.

මෙහම දිගටම කරගෙන ගියාම එක වෙලාවක අංක 6174 ඇවිල්ලා එතනින් එහාට හැම වෙලේම 6174න් නතර වෙනවා. මෙම අපූරු රටාව හොයා ගත්තේ ඉන්දීය ජාතික ගණිතඥයෙක් වන D. R. Kaprekar. ඒ නිසාම අංක 6174 ට Kaprekar ගේ නියතය කියලත් කියනවා.

දැන් සම්පූර්ණ උදාහරණයක් අරන් බලමු. පටන් ගන්න ඉලක්කම විදියට ගම්මු 3425

[5432-2345 = 3087]

[8730-0378 = 8352]

[8532-2358 = 6174]

[7641-1467 = 6174]

[7641-1467 = 6174]

………..

වැඩේ හරිද කියලා බලන්න තව උදාහරණයක් අරන් බලමු.

උ.දා:- 9472

[9742-2479 = 7263]

[7632-2367 = 5265]

[6552-2556 = 3996]

[9963-3699 = 6264]

[6642-2466 = 4176]

[7641-1467 = 6174]

[7641-1467 = 6174]

[7641-1467 = 6174]

………..

මේ විදියටම ඉලක්කම් තුනේ සංඛ්‍යාවකින් පටන් ගත්තොත් අංක 495ට තමයි අභිසාරී වෙන්නේ.

ඡායාරූපයක ජාලරේඛය

1 Comment

ජාලරේඛය සහ සංඛ්‍යාත බහුඅස්‍රය ……………, සාමාන්‍ය පෙළ ගණිත පාඩම් වල තිබ්බ කම්මැලිම පාඩම.  උසස් පෙළට ආවා කියලවත් ඕකෙන් ගැලවීමක් තිබුණේ නෑ. ඇයි ‘සංඛ්‍යානය සහ සම්භාවිතාව’ කියලා පාඩමක් තිබ්බනේ. කැල්කියුලේටරයක් නැතිව සංඛ්‍යානයේ එන සම්මත අපගමණය, විචලතාවය හොයන එක ලේසි පහසු වැඩක්ද? අර ගොනා පස්සේ එන කරත්ත රෝදේ වගේ විශ්ව විද්‍යාලයේදිවත් සංඛ්‍යානයෙන් ගැලවීමක් තිබ්බේ නෑ. හැබැයි විශ්ව විද්‍යාලයේදි නම් සංඛ්‍යානයේ තිබ්බ කම්මැලි ගතිය නැතුව ගියා. කැල්කියුලේටර් භාවිතා කරන්න දුන්න නිසා වෙන්න ඇති.

මේත් එක්කම සම්භාවිතාවය ගැන සංචාරකයාට මතක් වෙන පුංචි කතාවකුත් තියෙනවා, නොලියාම බැරි. ඒකෙන් කියන්නේ ගණිතඥයින් තුන් දෙනෙකුට සම්භාවිතාවය ගැටළුවක් දීලා තනි තනිව හදන්න කියලා ටික වෙලාවකින් පස්සේ උත්තර ඇහුවාම උත්තර හතරක් තියෙනවලු. ඒ තමයි තුන්දෙනාගේ උත්තර තුන සහ හරි උත්තරය.  මේ කතාවම වෙනත් ක්ෂේත්‍රයින් සම්බන්ධයෙනුත් සමහරු අහලා ඇති. සංචාරකයා යාළුවොත් එක්ක සම්භාවිතාව ගණන් හදන කාලේ නම් එක ගාණකට උත්තර 10ක් 15ක් තිබ්බා. ඇයි එක්කෙනෙකුට උත්තර 3-4ක් තිබ්බනේ.

ඒ කොහොම හරි ‘සංඛ්‍යානය සහ සම්භාවිතාවය’ කියන්නේ ගණිතයේ බහුලව ප්‍රායෝගිකව භාවිතා වන අංශයක්. මේ ලියන්න යන්නේ සංඛ්‍යානයේ එන සංකල්පයක් වන ජාලරේඛය ඡායාරූපකරණයේදී භාවිතා වන හැටියක් ගැන කියන්නයි.

අපි ඩිජිටල් කැමරාවකින් ගන්නා වර්ණ ඡායාරූපයක් පරිඝනකයේ නිරූපණය කරන්නේ Pixel වලින් නේ. සාමාන්‍ය තත්ව යටතේ එක Pixel එකක් නිරූපණය කරන්නේ bits 24 කින්. 24 ක් එන්නේ රතු, කොළ සහ නිල් කියන වර්ණ තුනට [RGB Colour Model] bits 8ක් ගානේ වෙන් කළහම. එතකොට එක වර්ණයක් නිරූපණය කරන්න තෝරා ගන්න පුළුවන් අගයන් 256 [28] ක් තියෙනවා.  උදාහරණයක් විදියට එක Pixel එකක අගය (100,150,175) විදියට දක්වන්න පුළුවන්.  ඔක්කොම පාට ටික එකතු උනාම සුදු පාට හැදෙනවා කියල පොඩි කාලේ අහලා තියෙනවානේ. එතකොට වල R,G සහ B වල උපරිම අගයන් දැම්මාම (255,255,255) සුදු පාට ලැබෙන අතර අවම අගයන් දැම්මාම කළු පාට (0,0,0) ලැබෙනවා.

ජාලරේඛය අඳින්න එක එක Pixel එකේ Luminance [දීප්තතාවය] එක හොයා ගන්න ඕනෑ.  ඒක පහත සමීකරණයෙන් ගන්න පුළුවන්.  මේ විදියට දීප්තතාවය ගණනය කරන සමීකරණ කීපයක්ම තිබෙනවා අවස්ථාව අනුව වෙනස් වෙන. සංචාරකයා මේ දක්වලා තියෙන්නේ වඩාත්ම වැඩියෙන් භාවිතා වන සමීකරණයයි.

Y = (0.299 * R) + (0.587 * G) + (0.114 * B)

හොඳට බලන්න මේ සමීකරණයෙත් සම්පූර්ණයෙන්ම සුදු පාට Pixel එකකට 255ක දීප්තතාවයක් ලැබෙනවා.  ඒ වගේම සම්පූර්ණයෙන්ම කළු පාට Pixel එකකට දීප්තතාවය 0ක් වෙනවා.

Y = (0.299 * 255) + (0.587 * 255) + (0.114 * 255) =255

Y = (0.299 * 0) + (0.587 * 0) + (0.114 * 0) =0

දැන් ඡාලරේඛය අඳින්නේ එක එක දීප්තතා අගය [0 සිට 225 ට] X අක්ෂයටත් එම දීප්තතා අගය තියෙන Pixel ගාණ Y අක්ෂයටත් අරගෙන.  උදාහරණයක් විදියට පහත ඡායාරූපය  බලන්න. ඡාලරේඛයේ දකුණු පසට වෙන්න වැඩියෙන් expose වුණු තැනුත් වම් පසට වෙන්න අඩුවෙන් expose වුණු තැනුත් මැදින් නිවැරදිව expose වුණු තැනුත් පෙන්නුම් කරනවා. ඊට අමතරව ඡාලරේඛයේ තීරුවල උස එකතු කළහම ඡායාරූපයේ සම්පූර්ණ Pixel ගණන හම්බ වෙනවා.

ඊළඟට බලමු කොහොමද ප්‍රායෝගික ඡායාරූපකරණයේදී ජාලරේඛය වැදගත් වෙන්නේ කියලා. සාමාන්‍ය සම්මතයේ හැටියට සමබරව expose වුණු ඡායාරූපයක් තමයි හොඳ ඡායාරූපයක් හැටියට සළකන්නේ. එහෙම ඡායාරූපයක ජාලරේඛයේ තීරු විසිරී පවතින්නේ මැද හරියෙන් විතරයි. අනික් කාරණය තමයි ජාලරේඛය පැතිරී පවතින තරමට ඡායාරූපයේ contrast එක වැඩි වෙනවා කියන එක. මේක ගැන දැන ගන්න තියෙන හොඳම ක්‍රමය තමයි Photoshop වල ඡායාරූපයේ එක එක වෙනස්කම් කරමින් ජාලරේඛය නිරීක්ෂණය කරන එක.  හැබයි සංචාරකයාගේ අත්දැකීම් අනුව නම් Photoshop ජාලරේඛය ගොඩ නඟන්නේ ඉහත සඳහන් ක්‍රමයට වඩා වෙනස් විදියකටයි. ඒ ගැන වැඩි විස්තරයක් කියන්න සංචාරකයා දන්නේ නෑ. හැබැයි මූලික සංකල්පය නම් එකයි.

.ලි: ඡායාරූපයෙන් දැක්වෙන්නේ අර සංචාරකයා කලින් දවසකත් කියපු ගම්මානයට පෙනෙන ඉර බහින දර්ශනයක්.


ඡායාරූපකරණයේ තුනෙන් එකේ නියමයෙන් ඔබ්බට……………Golden Spiral

5 Comments

මීට පෙර ලිපියෙන් කිව්වා වගේ අද ලියන්න යන්නේ ඡායාරූප කලාවේ භාවිතා වන තවත් එක සැකසුම් නියමයක් (Composition Rule) ගැනයි.  ඒ තමයි Golden Spiral කියන එක.  මෙහි ගණිතමය පැහැදිලි කිරීමට නම් ටිකක් විතර ගැඹුරු ගණිත සංකල්ප වගයක් ඕනේ වෙනවා. කොහොම උනත් වැඩේ සම්පූර්ණ වෙන්න ඒකත් ඇතුලත් කරනවා.

Golden Spiral එක පහත (1) න් දැක්වෙන ඝාතීය ශ්‍රිතයෙන් දක්වන්න පුළුවනි. මෙහි a යනු ඕනෑම ධන තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වන අතර b කියන්නේ (2) න් දැක්වෙන තාත්වික නියත අගයයි.

r = ae …………………. (1)

ebπ/2 = φ ……………… (2)

(2) වෙනි සමීකරණයෙන් කියන්නේ කෝණයේ අගය රේඩියන් π/2 වන විට [අංශක වලින් නම් 900 ක් වන විට වල ebπ/2 අගය φ ට සමාන වන පරිදි තියෙන්න ඕනේ කියලයි. φ ගැන කලින් ලිපියේ කිව්වනේ. මෙහි අගය (1+√5)/2 යි. ආසන්න වශයෙන් කිව්වොත් 1.61803398874989… ක් වෙනවා.  දැන් b වල අගය හොයලා බලමු.

(2) න්

ebπ/2 = φ දැන් දෙපසම ස්වභාවික ලඝුගණකය [ln] ගත්තම,

b= ln(φ)/(π/2) => b=0.3063355

a=1 වන විට -2π සහ අතර පරාසයේ මෙම ධ්‍රැවීය සමීකරණය [Polar Equation] ප්‍රස්තාරගත කළාම පහත ආකරයේ එකක් තමයි ලැබෙන්නේ.

θ වල අගය, π/2 හි ගුණාකාරවලදී [එහෙමත් නැත්නම් ප්‍රස්තාරය X අක්ෂය හෝ Y අක්ෂය කැපෙන තැන් වලදී] අගයන් මෙහෙමයි ඒන්නේ.

eb(-2π) ,eb(-3π/2) ,eb(-π) ,eb(-π/2) ,eb(0) ,ebπ/2 ,e , eb3π/2 ,eb2π

දර්ශකයේ පද පොඩ්ඩක් එහා මෙහා කරලා මේ විදියට ලියන්න පුළුවනි.

e-b(π/2)4 , e-b(π/2)3, e-b(π/2)2 , e-b(π/2)1 ,eb(0) , eb(π/2)1, eb(π/2)2 , eb(π/2)3, eb(π/2)4

අපි කලින් දෙවෙනි සමීකරණයෙන් දැක්කා ebπ/2 = φ කියලා. ඒ අගය ආදේශ කළහම මෙහෙම තමයි ශ්‍රිතයේ අගයන් එන්නේ.

Φ-4, Φ-3, Φ-2, Φ-1, Φ0=1, Φ1, Φ2, Φ3, Φ4

φ ආසන්න වශයෙන් 1.618 ආදේශ කළහම මේ අගයන් ටික ගන්න පුළුවන්.

0.146, 0.236, 0.381, 0.618, 1, 1.618, 2, 618, 4.236, 6.853

මේ අගයන් ටිකෙන් තමයි ඉහත ප්‍රස්තාරයේ අක්ෂ කැපිලා තියෙන්නේ.

මේ වක්‍රයට ඉතාම ආසන්න වක්‍රයක් Fibonacci Sequence එකෙන් ලබා ගන්න පුළුවනි.  Fibonacci Sequence එක කියන්නේ මෙන්න මේකයි.

0,1,1,2,3,5,8,13,21, ………………………

0 න් සහ 1 න් පටන් ගන්න මේ ශ්‍රේණියේ අනෙකුත් පද හැදිලා තියෙන්නේ ඊට කලින් පද දෙකේ එකතුවෙන්. මතකනේ මේකට අදාළව ලංකාවේ තියෙන අප්‍රකට ස්මාරකයක් ගැනත් කලින් ලිපියකින් ලිව්වා.  අනන්තයට යද්දී මෙම ශ්‍රේණියේ පද දෙකක් අතර අනුපාතය φ ට අභිසාරී වෙනවා කියලා ඔප්පු කරන්න පුළුවනි. හැබැයි මේකට නම් සීමා [Limits] සම්බන්ධ ගැඹුරු දැනීමක් ඕනේ නිසා මෙම ලිපියේ අන්තර්ගත කරන්නේ නෑ. මේ ශ්‍රේණියේ බිංදුව අමතක කරලා 1,1,2,3,5,8,13,21 එන මේ පද ටික ගනිමු.  දැන් මෙහි එක එක ඉලක්කම අදාළව සමචතුරශ්‍රාකාර හැඩ ඇඳලා පහත විදියට අසුරන්න පුළුවන්. මෙහෙම කරන්න පුළුවන් එක පදයක් ඊට කලින් පද දෙකේ එකතුවට සමාන නිසා විතරයි.

ඊට පස්සේ ඒ සමචතුරස්‍රවල විකර්ණ හරහා රූපයේ දැක්වෙන ව්දියට චාප අඳින්න පුළුවන්. මෙහෙම ලැබෙන වක්‍රය Golden Spiral එකට තරමක් දුරට ආසන්නයි.

දිග කතාන්දරයකින් පස්සේ දැන් මෙය ඡායාරූපකරණයට අදාළ වෙන තැනට එමු. මෙම රීතියෙන් කියන්නේ කිසියම් ඡායරූපයක තිබෙන වක්‍ර රටා Golden Spiral එකකට අනුගත කරන්න කියලායි. උදාහරණයක් වශයෙන් පහත ඡායාරූපය බලන්න.

ආරම්භක කුඩා කොටුව තමන්ට අවශ්‍ය ප්‍රමාණයකින් පටන් ගන්න පුළුවන්. මේ විදියට ඡායරූප crop කරන්න ටිකක් විතර අමාරුයි. මෙම ඡායාරූපය හදන්න සංචාරකයා භාවිතා කළේ කියන PhotoImpact X3 පරිඝනක මෘදුකාංගයේ Trial Version එකකුයි. මෙහි Golden Spiral එකේ ආකරයට crop කරන්න පුළුවන් රාමුවක් [Template] තියෙනවා.  එච්චරම සාර්ථකම උදාහරණයක් නම් නෙවෙයි. අනික් සමචතුරස්‍රවලටත් ගැලපෙන වක්‍ර තිබුණා නම් තමයි හොඳ. අන්තර්ජාලයේ වඩාත් නිවැරදි උදාහරණ ඕනා තරම් සොයා ගන්න පුළුවන්.

ඡායාරූපකරණයේ තුනෙන් එකේ නියමයෙන් ඔබ්බට……………Golden Mean

Leave a comment

‘තුනෙන් එකේ නියමය’ එහෙමත් නැත්නම් ‘Rule of one Thirds‘ කියන්නේ ඡායාරූප ශිල්පයේදී ඉතාම බහුලව භාවිතා වන Composition සිද්ධාන්තයයි.  මේ නියමයෙන් කියන්නේ ඡායාරූපයක් දිග පැත්ත සහ පළල පැත්ත සමාන කොටස් තුනකට බෙදෙන පරිදි සරල රේඛා ඇන්ඳාම ඡේදන ලක්ෂ්‍යවලට ඇස වැඩියෙන් ඇදෙනවා කියන එකයි. ඒ නිසා ඡායාරූපයක වැදගත්ම වස්තූන් ඡේදන ලක්ෂ්‍යවල හරි තුනෙන් එකේ සරල රේඛා වලට හරි අනුගත කරන්න කියලා තමයි කියන්නේ. මේ කියන්න යන්නේ ඒ නියමයට අමතරව ඡායරූප කලාවේදී භාවිතා වන තවත් Composition Rule එකක් වන ‘Golden Mean සහ ඒකට අදාළ ගණිතමය පසුබිමයි.

ඈත අතීතයේ ඉඳලා ගණිතඥයෝ පර්යේෂණ පවත්වන අනුපාතයක් තිබුණා. ඒ තමයි (a+b)/a=(a/b) වන අනුපාතය. මේ අනුපාතය ග්‍රීක φ අක්ෂරයෙන් තමයි දැක්වුවේ.  මේකේ අගය මෙහෙම හොයන්න පුළුවන්.

(a+b)/a= (a/b) = φ

=>  a= φb ………………….. (1)

=>  a+b=φa………………….(2)

(1) න් සහ (2) න්

φb + b=φ(φb)

=> φ2φ-1=0

වර්ග සමීකරණයේ ධන මූලය ගැනීමෙන්  φ=(1+√5)/2 = 1.61803398874989…. කියන අපරිමේය සංඛ්‍යාව ලබා ගන්න පුළුවන්. පුනරුද සමයේ යුරෝපයේදි මෙම අනුපාතයට කලාත්මක වටිනාකමක් ලැබුණා [හැබැයි මීට බොහෝ කාලයකට පෙර ග්‍රීක-රෝම ශිෂ්ටාචාරවලදිත් මෙම අනුපාතය ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පයේදි යොදා ගත් බවට සාක්ෂ්‍ය තියෙනවා.]. බොහෝ චිත්‍ර ශිල්පීන් සහ ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පීන් මෙම අනුපාතය තමන්ගේ නිර්මාණ වලට යොදා ගත්තා.  හේතුව උනේ යම් සෘජුකෝණශ්‍රයක දිග සහ පළල අතර අනුපාතය වන විට එය අනික් සෘජුකෝණශ්‍ර වලට වඩා ඇසට ප්‍රියමනාප වීමයි.

දැන් මේක ඡායාරූප කලාවට අදාළ වෙන තැනට එමු. ‘Golden Meanනියමයෙන් කියන්නේ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඡායරූපයක දිග පැත්ත සහ පළල පැත්ත φ අනුපාතයට බෙදන රේඛා ඇන්ඳාම ඡේදන ලක්ෂ්‍යවලට හරි තිරස්, සිරස් රේඛාවලට හරි ඡායාරූපයේ වැදගත්ම වස්තූන් අනුගත කරන්න කියන එකයි.  උදාහරණයක් වශයෙන් පහත ඡායාරූපය බලන්න.

මෙම ජාලය [Grid] ඡායාරූපයක් ගනිද්දී හිතින් මවා ගන්න ටිකක් අමාරු එකක්. ඒ නිසාම කතාවක් තියෙනවා මෙම ප්‍රායෝගික අපහසුතාවය නිසා තමයි ‘One Third Rule’ එක ජනප්‍රිය උනේ කියලා. පහසුම ක්‍රමය තමයි ඡායාරූපය අරගෙන නියමයට අදාළ විදියට crop කරන එක.

මේ හා සබැඳෙන තවත් නියම දෙකක් වන ‘Golden Spiralසහ ‘Golden Triangleගැන ඉදිරි ලිපියකදී ලියන්න බලාපොරොත්තු වෙනවා.

අවසාන වශයෙන් කියන්න ඕනේ නියමයන් දැන ගත්තට හැම ඡායාරූපයටම එවා භාවිතා කරන එක අත්‍යවශ්‍ය නෑ. නියමයන්ගෙන් පිට යන විශිෂ්ට ඡායාරූප ඕනේ තරම් තියෙනවා. ලෝකයේ මෙතෙක් බිහි වූ ශ්‍රේෂ්ඨ ඡායාරූප ශිල්පියෙක් වන ‘Ansel Adams’  වරක් මෙසේ පැවසුවා.

“There are no rules for good photographs, there are only good photographs.”