පරෙවි කූඩු සිද්ධාන්තය

2 Comments

කළින් දවසක සංචාරකයා ලිව්වනේ සම්භාවිතාවය ගැන පුංචි කතන්දරයක්. ගණිතයේ එන “සංකරණ සහ සංයෝජන” ගැනත් සංචාරකයාගේ අත්දැකීම් ඊට සමානයි. මේ ලිපියෙන් ලියන්න යන්නේ ඒ දෙපැත්තටම සම්බන්ධ පොඩි බට්ටා සිද්ධාන්තයක් ගැන.

පොඩි කාලේ අහපු මේස් ගැටළුව මතකද? ආයේ මතක් කරනවා නම් කළුවර කාමරයක තියෙන පෙට්ටියක පාට දෙකක මේස් තියෙනවා. එකම පාටෙන් මේස් දෙකක් ගන්න නම් අඩුම වශයෙන් මේ කීයක් ගන්න ඕනෙද? සරලයිනේ, උත්තරය තුනයි. මෙන්න මේ වගේ ගැටළු පිටිපස්සේ තියෙන සිද්ධාන්තයට තමයි පරෙවි කූඩු සිද්ධාන්තය [Pigeonhole Principle]කියල ගණිතයේ කියන්නේ.

පරවියෝම අරගෙන මේ සංකල්පය පැහැදිලි කරනවා නම් මෙයින් කියන්නේ n>m වෙලාවට පරවියෝ n සංඛ්‍යාවක් කූඩු m සංඛ්‍යාවකට දානවා නම් එක කූඩුවක හරි පරවියෝ එකකට වැඩිය ඉන්නව කියලයි.  බැලූ බැල්මට නම් වෙනම ගණිත සිද්ධාන්තයක් විදියට අර්ථ දක්වන්න තරම් දෙයක් මෙතන නෑ. හැබැයි මේක පාවිච්චි කරල හිතන්නේ නැති විදිය ප්‍රතිඵල ලබා ගන්න පුළුවන්.

සරල උදාහරණයක් කියනවා ක්‍රිකට් කණ්ඩායමක ක්‍රීඩකයෝ දෙදෙනෙක්වත් ඒකම සතියේ දවසක [සඳුදා, ……., ඉරිදා] ඉපදුණු අය වෙනවා. මොකද සතියේ දවස් 7ක් තියෙන්වා [m=7 යි]. කණ්ඩායමට ක්‍රීඩකයෝ 11ක් ඉන්නවා [n=11]. එතකොට පරෙවි කූඩු සිද්ධාන්තය [n>m නේ මෙතන] අනුව ඒක සතියේ දවසක ඉපදුණු ක්‍රීඩකයෝ දෙන්නෙක් ඉන්නවා.

තවත්  උදාහරණයක් ගත්තොත් ඕනෑම ධන නිඛිල 6ක් ගත්තොත් අනිවාර්යයෙන් එවා දෙකකවත් අන්තරය 5න් බෙදෙනවා කියන එක.  ඕනෑම ඉලක්කමක් 5ක් බෙදුවාම ඉතිරි වෙන්න පුළුවන් ඉලක්කම් 5ක් තියෙනෙවානේ [0,1,2,3,4].  ඒ කියන්නේ m=5 යි. ඉලක්කම් 6ක් තිබෙන නිසා n=6 යි. එම නිසා ඉලක්කම් දෙකක්වත් තියෙනවා 5න් බෙදුවාම එකම ශේෂයක් ඉතුරු වෙන. එතකොට ඒ ඉලක්කම් දෙක මෙහෙම ලියන්න පුළුවන් නේ.[උදාහරණයක් විදියක්ට 4ක් ඉතිරි වෙන ඉලක්කම් දෙකක් තියෙනව කියල ගම්මුකෝ]

5a+4, 5b+4

එතකොට මේ ඉලක්කම් දෙකේ අන්තරය වෙන්නේ 5(a-b). ඒ කියන්නේ අන්තරය 5න් බෙදෙනවා.

හිතට ආපු ඉලක්කම් 6ක් අරන වැඩේ කරලා බලමු.

23, 45, 67, 86, 12, 46

23=5(4) + 3

45=5(9) + 0

67=5(13) + 2

86=5(17) + 1

12=5(2) + 2

46=5(9) + 1

67යි 12යි දෙකම 5න් බෙදුවාම දෙකක් ඉතුරු වෙනවා. 67න් 12ක් අඩු කළාම එන 55 5න් බෙදෙනවා.

මෙම සිද්ධාන්තය මීට වඩා ගොඩාක් සංකීර්ණ ගැටළු විසඳන්න පාවිච්චි කරන්න පුළුවන. චෙස් පුවරුවක් සම්බන්ධ කරලා හරිම අපූරු ගැටළුවක් එහෙම තියෙනවා. උනන්දුවක් තියෙන අය අන්තර්ජාලයේ හොයලා බලන්න.

ප.ලි:Pigeonhole’ කියන ඉංග්‍රිසි වචනෙට හරිම සිංහල වචනය සංචාරකයා දන්නේ නෑ. හිතට ආවට පරෙවිකූඩුව කියල දැම්මට මේක කුඩා ලාච්චුවක් වගේ දෙයක් හඳුවන්න පාවිච්චි කරන වචනයක්. හරිම සිංහල වචනය දන්න කෙනෙක් ඉන්නවා නම් දාන්න.

වි‍යැට ප්‍රශ්නය කෙසේද යත් …………….

6 Comments

ඊයේ පෙරේදා දවසක සංචාරකයා ලෝක චෙස් ඔලිම්පියාඩය ගැන ලිපියක් ලිව්වානේ. ඒකට දාපු කමෙන්ටුවකදී චානක සහෝදරයා මතක් කලානේ චෙස් ක්‍රීඩාවේ උපත ගැන තියෙන කතාවක්. ඔය කතාව අහලා තිබුණාට එහි කියවෙන ඉලක්කම ගැන ලොකු අදහසක් පොඩි කාලේ කතාව අහද්දී හිතට ආවේ නෑ. ඉතින් ආයේ කතාව මතක් වෙච්චි එකේ සංචාරකයා පොඩි මැතක් දාලා ඒ කියන ඉල්ලකමේ දිග පළල ගැන පොඩ්ඩක් හිතුවා.

කතාව හැමෝම අහලා තිබුනත් වැඩේ සම්පූර්ණ වෙන්න ආයේ ලියන්න වෙනවා. චෙස් ක්‍රීඩාව කරන්නේ කොටු  64කින් යුක්ත සමචතුරස්‍රාකාර පුවරුවකනේ. මේ ක්‍රීඩාව මුලින්ම හොයා ගත්ත පුද්ගලයා රටේ රජතුමා ගාවට ගිහින් ඒක කියලා දුන්නලු. රජතුමත් බොහොම පැහැදිලා තෑග්ගක් දෙන්න හිතලා කිව්වලු ඕනෑම දෙයක් ඉල්ලන්න කියලා.

මේ පුද්ගලයා කිව්වා රජතුමනි මට වැඩි යමක් ඕනේ නෑ, මේ පුවරුවේ පළවෙනි කොටුවට වී ඇට එකකුත්, දෙවෙනි කොටුවට වී ඇට දෙකකුත්, තුන්වෙනි කොටුවට වී ඇට හතරකුත්, හතරවෙනි කොටුවට වී ඇට අටකුත් ආදී වශයෙන් දෙන්න කියලා. රජ්ජුරුවන්ට බැලූ බැල්මට මේක ඉතාම සරල ඉල්ලීමක් වුණා. ඉතින් අපේ නිර්මාපකයාගෙන් “හොඳටම ෂුවර්ද” කියලා එහෙම අහල අවශ්‍ය වී ප්‍රමාණය දෙන්න භාණ්ඩාගාරිකට නියම කරාලු. සිද්ධිය අහපු භාණ්ඩාගාරික පත්තු වුණාලු හොඳටම, රටේම තියෙන වී දුන්නත් මේක කරන්න බෑ කියලා කිව්වලු.

දැන් බලමු මේ කියන්නේ වී ඇට කොච්චරක්ද කියලා. එක් එක කොටුවට අදාළ වී ඇට සංඛ්‍යාව ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියකයි පිහිටලා තියෙන්නේ.

S63=20, 21, 22, 23, 24, 25, ……………………………, 263

එතකොට එකතුව වෙන්නේ

S63= (264-1) / (2-1) = 264-1= 18446744073709551615

මෙන්න මේ ලින්ක් එකේ තියෙනවා වී ඇටයක බර මිලිග්‍රෑම් 20-30 අතර වෙනවා කියලා.

http://wiki.answers.com/Q/How_much_does_a_grain_of_rice_weigh

අපි වී ඇටයක බර 25 mg කියලා හිතලා අවශ්‍ය වී ප්‍රමාණයේ බර බලමු.

(25 x 18446744073709551615) / 10^9 = මෙට්‍රික් ටොන් 461168601842.738790375

ආසන්න වශයෙන් කිව්වොත් මෙට්‍රික් ටොන් මිලියන 450,000 ක් !!!.

ලෝක ආහාර සහ කෘෂිකර්ම සංවිධානයේ දත්ත අනුව 2008 වර්ෂයේ මුළු ලෝකයේම වී නිෂ්පාදනය මෙට්‍රික් ටොන් මිලියන 650ක් වගේ වෙන්නේ. එතකොට මේ කියන්නේ සාමාන්‍යයෙන් වාර්ෂික ලෝක වී නිෂ්පාදනය වගේ 692 ගුණයක්.

http://faostat.fao.org/site/339/default.aspx

කොහොමද වැඩේ හැටි…….!!. ඇත්තටම වී දෙන්න ගත්තා නම රජතුමාට තාමත් වී දෙන්න වෙනවා මම හිතන්නේ. මොකද ඉහත උදාහරණය අනුව 2008 ලෝක වී නිෂ්පාදනයම දුන්නත් අවුරුදු 692ක් යනවා ගෙවලා ඉවර කරන්න. ඒ නිසා වෙන්න ඇති කතාවේ ඊළඟට කියන්නේ රජතුමා කිව්වා කියලා, හොඳයි මම වී දෙන්නම්, හැබයි ගැනලා ගන්න, පස්සේ කියන්න එපා අඩුවෙන් දුන්නා කියලා. මේ කතාවේ ගොඩක් version තියෙනවා. විකිපීඩියා පිටුවෙන් වැඩි විස්තර ගන්න පුළුවනි.

http://en.wikipedia.org/wiki/Wheat_and_chessboard_problem