කුරුස කොඩියේ ප්‍රමේයය

9 Comments

අද ලිපියෙන් කියන්න යන්නේ කුරුස කොඩිය, එහෙමත් නැත්නම් බ්‍රිතාන්‍ය කොඩියේ නම තියෙන ගණිත ප්‍රමේයයක් ගැනයි.  මෙම ප්‍රමේයයට අනුව P කියන්නේ ABCD ඕනෑම සෘජු කෝණාශ්‍රයක් ඇතුළත පිහිටලා තියෙන ලක්ෂ්‍යයක් නම්

AP2+PC2=BP2+PD2

කියලයි.

වඩාත් පැහැදිලි වෙන්න පහත රූපය 1 බලන්න. රූපය දැක්කාම නම ආපු හැටිත් ආයේ අමුතුවෙන් කියන්න ඕනේ නෑ නෙ. ඔප්පු කරන්න නම් පයිතගරස් ප්‍රමේයය හතර සැරයක් පාවිච්චි කරන්න තියෙන්නෙ.

AP2 =Ax2+Aw2 …………….. (1)

PC2=xB2+wD2 …………….. (2)

BP2=xB2+Aw2 …………….. (3)

PD2=Ax2+wD2 …………….. (4)

 


රූපය 1

(1) + (2) න්

AP2 + PC2 = Ax2+Aw2 +xB2+wD2 = (xB2+ Aw2) + (Ax2+ wD2)= BP2 + PD2

හැබැයි ප්‍රමේයයෙන් මෙහෙම කිව්වට, මෙම සම්බන්ධතාවය සත්‍ය වෙන්න P ලක්ෂ්‍යය සෘජු කෝණාස්‍රය ඇතුළතම තියෙන්න ඕනේ නෑ. සෘජු කෝණාස්‍රයට පිටතින් හෝ, තවත් එහාට ගියොත් සෘජු කෝණාස්‍රය තියෙන තලයට පිටතිනුත් P පවතින විටත් මෙම සම්බන්ධය සත්‍යයයි. ඒ කියන්නේ පහත දෙවෙනි රූපයේ ආකාරයට P පිහිටලා තිබ්බත් මේ සම්බන්ධය ඒ විදියටම හරි යනවා.

රූපය 2

Advertisements

බක වරක් චක්කරේ හොයා ගෙන විස්මලන්තයට

20 Comments

ඇලිස් දුටු විශ්මලන්තය‘ පොත ගොඩක් දෙනෙක් කියවලා ඇති. මුල් චරිත කිහිපයක් අරගෙන කතාව වෙනස් කරලා චිත්‍රපටියකුත් ආවේ මේ අවුරුද්දේ.  මේ පොත මුලින්ම කියවපු සැරේ සංචාරකයා හිතුවේ මේ මොන පිස්සු විකාරයක්ද කියලයි. පස්සේ තමයි ටිකෙන් ටිකෙන් එහෙන් මෙහෙන් දැන ගත්තේ පිස්සු විකාරය පිටිපස්සේ එක එක තේරුම් තියෙනව කියලා.

ටිකක් විතර අමුතු රීතියකින් ලියලා තියෙන මේ පොත ගැනත්, කතුවරයා ගැනත් ආන්දෝලාත්මක මත කිහිපයක්ම තිබෙනවා. ලුවිස් කැරොල් කියන ආරූඪ නාමයෙන් මේ  පොත ලිව්වේ චාල්ස් ඩොජ්සන් කියලා ඉංග්‍රිසි ජාතික ගණිත ආචාර්යයවරයෙක්.  පොතේ ගණිතමය පසුබිම ගැන තියෙන මතවාදයක් පහත යොමුවෙන් ගන්න පුළුවන්.

http://www.nytimes.com/2010/03/07/opinion/07bayley.html?_r=1

කොහොමින් හරි පොතේ එක තැනකදී ඇලිස් ගුණකිරීම වගයක් කියනවා  “හතර වරක් පහ දොළහයි, හතර වරක් හය දහතුනයි, හතර වරක් හත … දෙයියනේ මේ විදියට මට කවදාවත් විස්සට යන්න බැරි වෙයිනේ”.

දැන් කොහොමද හතර වරක් පහ දොළහ වෙන්නේ? මෙතනදී තියෙන මතය තමයි ඇලිස් ගණන් කරන්නේ අපි සාමාන්‍යයෙන් භාවිතා කරන දහයේ පාදයෙන් නොවන බවත්, එක් පියවරකින් අනික් පියවරට පාදය තුනකින් වැඩිවන බවත්.

418 x 518 =1218

421 x 621 = 1321

424 x 724 = 1428

……….

දැන් ලිපියේ ඊළඟ කොටසට

බක වරක් චක්කරේ’, උසස් අධ්‍යාපන ආයතනවල නවක වදයේ තියෙන ප්‍රසිද්ධ අංගයක්. හැබැයි වෙන ඒවගේ හැටියට බක වරක් චක්කරෙන් බේරුණොත් ඒකත් ලොකු දෙයක්.  ලිපිය ලියන්න කළින් හොයල බලද්දී දැක්කේ ආගිය කතා ලියන හසිත සහෝදරයා බක වරක් චක්කරේ‘ තවත් ස්වරූපයක් වන පුටු වරක් චක්කරයක් ගැන ඉතාම රසවත් ලිපියක් ලියලා තියෙනවා කියලා. ඒක ගැන සංචාරකයා දැන ගත්තේ අදම තමා.

බක වරක් චක්කරේ එන්නේ මෙහෙමනේ,

බක x එක = බක යි

බක x දෙක = බකබක යි

බක x තුන = බකබකබක යි

බක x හතර = බකබකබකබක යි

……

ඔන්න එක දවසක් උසස් අධ්‍යාපන ආයතනයක ආපන ශාලාවක ජ්‍යෙෂ්ඨ උත්තමයෙක් ජුන්නෙක්ගෙන් බක චක්කරේ පාඩම් ගන්නවාලු.  මේක ඇහුණලු ළඟින් ගිය ගණිත ආචාර්යයවරයෙකුට.  එයා ඇවිල්ලා ජුන්නාව නිදහස් කරලා ඇරලා ජ්‍යෙෂ්ඨයට  දුන්නලු පැවරුමක්..

බක වරක් චක්කරය සපුරා ලන පරිදි බක අර්ථ දක්වන්න කියලා

ජ්‍යෙෂ්ඨය උත්තමයට අනුකම්පාවක් වශයෙන් කට්ටියට උත්සාහ කරලා බලන්න පුළුවන්. ටිකක් විතර ළඟින් යන උත්තරයක් තියෙනවා.

මතක ප්‍රථමක මතක

2 Comments

ප්‍රථමක සංඛ්‍යා තරම් ගණිත ලෝකයේ කතාබහට ලක්වුණු ඉලක්කම් වර්ගයක් තවත් නැතුව ඇති. ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ගැන ලියන්න බොහෝ කරුණු තියෙනවා. මේ ලිපියෙන් ලියන්න යන්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා සම්බධයෙන් එන සුප්‍රසිද්ධ අනුමිතින් දෙකක් ගැනයි.

පහේ ශිෂ්‍යත්ව පංතිවලදී ඉගෙන ගත්තා මතක ඇතිනේ එක හැරුණු කොට අනික් ඕනෑම ඉලක්කමක් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා එකක හෝ කිහිපයක් ගුණිතයක් විදියට ලියන්න පුළුවන් බව. හැබැයි මේකට අංක ගණිතයේ මූලික සිද්ධාන්තය [Fundamental Theorem of Arithmetic] කියලා කියනවා කියලා සංචාරකයා දැන ගත්තේ පාසල් ජීවිතයත් හමාර වුණාට පස්සේ. මෙහි සාධනය මුලින්ම යුක්ලිඩ් විසින් ඉදිරිපත් කරලා තියෙනවා. වඩාත් නිවැරදි සාධනයක් පසු කාලීනව ෆෙඩ්‍රරික් ගවුස් විසින් ගොඩ නඟලා තියෙනවා. ඊළඟට කියන්න තියෙන්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා අනන්ත සංඛ්‍යාවක් තියෙනවා කියන එකයි. මේකටත් බොහොම අපූරු සරල සාධනයක් ඉදිරිපත් කරල තියෙනවා යුක්ලිඩ්. දැන් ලියනවා කියපු අනුමිතින් දෙකට එමුකෝ.

පළමු අනුමිතිය තමයි, නිවුන් ප්‍රථමක අනන්ත සංඛ්‍යාවක් තියෙනවා කියන එක (Twin Prime Conjecture). නිවුන් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කියලා කියන්නේ වෙනස 2ක් වෙන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වලටයි.

උදාහරණයක් විදියට 3 සහ 5 දැක්විය හැකියි.

වඩාත් විශාල උදාහරණයකට යනවා නම් 7877 සහ 7879 දැක්විය හැකියි.

ඊටත් වඩා විශාල උදාහරණයකට යනවා නම් 15485651 සහ 15485653 දැක්විය හැකියි.

මේ විදියට තමන්ට කැමති තරම් විශාල නිවුන් ප්‍රථමක යුගල හොයා  ගන්න පුළුවන්. පරිඝනක ඇසුරින් මෙසේ අවශ්‍ය තරම් විශාල ප්‍රථමක යුගල සොයා ගන්න පුළුවන් වුණාට මෙවැනි යුගල අනන්තයක් තියෙනවා කියලා තාම ගණිතමය සාධනයක් ඉදිරිපත් වෙලා නෑ. මේක මුලින්ම ඉදිරිපත් කළේ කව්ද කියන එක නම් ට්කක් විවාදාපන්නයි. සංචාරකයා ඒ ගැන කියන්න වැඩිය දන්නේ නැති නිසා මෙහි ලියන්නේ නෑ.

දෙවෙනි අනුමිතිය තමයි  Goldbach’s conjecture කියන එක. මෙයින් කියන්නේ ඕනෑම ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවක් [2 හැර] ප්‍රථමක සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවක් විදියට ලියන්න පුළුවන් කියලයි.

උදාහරණ විදියට

24=23+2

100=47+53

100000= 1103+98897

මෙය මුලින්ම ලොවට ඉදිරිපත් කරලා තියෙන්නේ ජර්මානු ජාතික ගණිතඥයෙක් වන Christian Goldbach. හැබැයි මුල් ඉදිරිපත් කිරීම නම් ටිකක් විතර වෙනස්, මොකද ඒ කාලේ 1ත් ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් විදියෙට ගණන් අරගෙන තියෙන නිසා.

ප.ලි: කළින් දවසක් ලියපු සිප ගන්න වෘත්ත ලිපිය මතක ඇතිනේ. ඒ ලිපිය ලියද්දී එහෙම සැකසූ වෘත්ත ඇසුරෙන් රටාවක් දාන්න හිතන් හිටියත් කාල වෙලාව මදි නිසා කර ගන්න පුළුවන් වුණේ නැහැ. Mathematica එක්ක පොඩ්ඩක් ඔට්ටු වෙලා එකක් හදා ගත්තා. ඒක තමයි මේ පහතින් තියෙන්නේ.