අසරුවාගේ අමුතු ගමන

4 Comments

පහුගිය දවසක සංචාරකයාට දූරං ගමන් ඒකං චරං කරන්න වෙන හින්දා දඩි බිඩි ගාල පොත් සාප්පුවකට ගිහින් පොතක් ගත්තා කියව කියව යන්න.  හදිස්සියට ගත්තත් තේරීම නරක වුණේ නැහැ.  පොතේ නම තමයි ‘The Eight’ . කතුවරිය වන්නේ අමරිකානු ජාතික කැතරින් නෙවිල් [Katherine Neville].

අට වන ශත වර්ෂයේ බටහිර යුරෝපයේ හිටපු චාලිමේන් අධිරාජ්‍යයයාට මුවර් ජාතිකයින් වගයකින් ලැබුණු චෙස් පුවරුවක් වටා තමයි කතාව ගෙතිලා තියෙන්නේ. මෙම චෙස් පුවරුවේ ශිෂ්ටාචාර ඇතිවීම, විනාශ වීම සම්බන්ධ රහසක් සඟවලා තියෙනවා කියල කියනවා. පොතේ තියෙන්නේ කාල දෙකකදී දෙපිරිසක් මේ රහස හොයා ගන්න දරණ උත්සාහයයි. ප්‍රබන්ධනාත්මක චරිතවලට අමතරව බොහෝ දෙනෙක් අහලා තියෙන ප්‍රසිද්ධ චරිත කිහිප දෙනෙකුත් ඉන්නවා. ඒ අතරින් රුසියාවේ දෙවෙනි කැතරින් රැජිණ, සුප්‍රසිද්ධ චෙස් ක්‍රීඩකයෙක් වුණු පිළිදෝර්, ගණිතඥයෙක් වන ලියොනාර්ඩ් ඔයිලර් , නැපෝලියන් බොනපාට් වැන්නවුන් විශේෂයි.

පොතේ අනික් විශේෂත්වය තමයි, චරිත ගති ලක්ෂණ සහ හැකියාවන් අනුව චෙස් පෙතේ ඉත්තන්ට අනුගත කරලා තියෙන එක. උදාහරණයක් විදියට පොතේ එන වර්තමානයේ, කණ්ඩායම් දෙකක් චෙස් පුවරුව එකලස් කරන්න උත්සාහ කරනවා. ඉතින් දෙපැත්තෙම රජවරු, රැජිණියන්, නයිට් වරු එහෙම ඉන්නවා. සැබෑ ජීවිතයේදී මොවුන් ව්‍යාපාරිකයින්, විද්‍යාඥයින්, පරිඝණක ඉංජිනේරුවන් වගේ විවිධ අයයි.

කොහොමින් හරි අද ලියන්න යන්නේ මේ පොතේ තැන් කිහිපයකම සඳහන් වුණු ප්‍රසිද්ධ ගණිත ගැටළුවක් ගැනයි.  ගැටළුව චෙස් පෙතකට සම්බන්ධයි. මතක ඇතිනේ මීට කලින් දවස් දෙකක සංචාරකයා චෙස් ක්‍රීඩාව සම්බන්ධ ගැටළු ගැන කිව්වා.

පරෙවි කූඩු සිද්ධාන්තය

වි‍යැට ප්‍රශ්නය කෙසේද යත් …………….

චෙස් ක්‍රීඩාවේ එන එක ඉත්තෙක් තමයි නයිට්, එහෙමත් නැත්නම් අසරුවා. නයිට් චෙස් පෙතේ ගමන් කරන්නේ L හැඩයටනේ.

Knight’s Tour කියන මෙම ගැටළුවෙන් අහන්නේ මොකක් හරි කොටුවකින් පටන් අරන් නයිට් කෙනෙකුට එක කොටුවකට දෙපාරක් එන්නේ නැතුව චෙස් පෙතේ කොටු 64ටම යන්න පුළුවන්ද කියන එක. [ගැටළුව 1 කියමු]

විකි පිටුවේ හැටියට නම් මෙම ගැටළුව ක්‍රි.ව 9 වෙනි ශත වර්ෂයට යනකම් යනවා. අර්ධ චෙස් පුවරුවක මෙම ගැටළුවට උත්තරය සංස්කෘත කවියක තියෙනවා කියලා තමයි කියන්නේ.

http://en.wikipedia.org/wiki/Knight’s_tour

ලියොනාර්ඩ් ඔයිලර් තමයි මේ පිළිබඳව අධ්‍යනය කළ පළමු ගණිතඥයා. ඒ නිසාම තමයි ඔහු ‘The Eight’ පොතේ චරිතයක් වෙලා තියෙන්නේ. මෙම ගැටළුවෙන් තවත් ගැටළු දෙකක් ගොඩ නඟන්න පුළුවන්.

ගැටළුව 2 – ගැටළුව 1කේ විදියට කොටු 64ටම ගිය නයිට් කෙනෙකුට 65 වෙනි පිම්ම විදියට ගමන ආරම්භ කළ කොටුවට එන්න පුළුවන්ද?

ගැටළුව 3 – ගැටළුව 2කේ විදියට යන ගමනකට එක් එක කොටුවට 1,2,3,4 ආදී වශයෙන්  අංක යෙදුවොත් මැජික් කොටුවක් ගොඩ නැඟෙන ආකාරයේ උත්තර තියෙනවද?

මෙවැනි ගැටළු අයිති වෙන්නේ ගණිතයේ Graph Theory කියන කොටසට. මෙම ගැටළුව Computer Algorithms ඉගෙන ගත්ත  අයට නම් මතක ඇති. Algorithms Course වල අභ්‍යාසයක් වශයෙන් බොහෝ දුරට මේක දෙනවා. ලිපිය ලියද්දි නම් උත්තර ගැනත් පොඩ්ඩක් ලියන්නම් කියලා තමයි හිටියේ, ලිපිය දිග වැඩිවෙන හින්දා ඒ ටික වෙන දවසකට කල් දානවා.

ෆර්මාගේ අවසන් ගැටළුව

13 Comments

මේක නම් ටිකක් විතර ප්‍රසිද්ධ කතාවක්. ගණිතය සම්බන්ධ කතන්දරවලදී මුලින්ම කියවෙන එකක්.

පියරේ ඩි ෆර්මා කියන්නේ 17වන ශත වර්ෂයේ විසූ ප්‍රංශ ජාතික ගණිතඥයෙක්. ෆර්මා ක්‍රි.ව 1665දී මිය යනවා. හැබ‍යි ඒ වෙද්දී ඔහු සිය අධ්‍යයන ප්‍රකාශයට පත් කරලා තිබුණේ නැහැ. ඉතින් ඔහුගේ පුතා වන ක්ලෙමන්ට් සැමුවෙල් ෆර්මා විසින් පියාගේ පොත්පත්, ලිපි, සටහන් ආදිය එකතු කරලා කියවලා බලනවා ප්‍රකාශයට පත් කරන්න. එවිට ඔහුට හමු වෙනවා තම පියා විසින් පරිශීලනය කරපු ඇලෙක්සැන්ඩ්‍රියානු ගණිතඥයෙක් වන ඩයිෆන්ටස්ගේ [Diophantus] Arithmatica කියන පොතේ පිටපත.  මේ පොතේ ෆර්මා තැනින් තැන සටහන් යොදලා තිබුණා. ගොඩක් වෙලාවට ඔහුගේ සටහන්වල තිබුණේ පොතේ එන ගැටළු අනුසාරයෙන් ඔහු ගොඩනංවපු ගැටළුත් ඒවයින් සමහරකට විසඳුමුත්.

1670දී සැමුවෙල් විසින් මෙම පොත නව සංස්කරණයක් වශයෙන් ප්‍රකාශයට පත් කරනවා පියරේ ඩි ෆර්මාගේ සටහන් එක්කම.  පොතේ එක් ගැටළුවක් වශයෙන් ඩයිෆන්ටස්ගේ විස්තර කරනවා පරිමේය වර්ග සංඛ්‍යාවක් තවත් වර්ග සංඛ්‍යා දෙකක ඒකතුවක් විදියට ලියන හැටි. එනම් k2=u2+v2 සමීකරණයට විසඳුමක් k දන්නා විට.  උදාහරණයක් වශයෙන් ඔහු ගන්නේ k= 4 අවස්ථාව.  ඔහු කියනවා  u=x හා v=(2x-4)වශයෙන් ගත්තාම අවශ්‍ය විසඳුම ගන්න පුළුවන් කියලා. මෙහිදී v තෝරා ගැනීමේදී සපුරාලිය යුතු කොන්දේසිය වන්නේ එය u [නැත්නම් x වල] ඕනෑම ගුණාකාරයකින් k අඩු කිරීමෙන් සෑදෙන සංඛ්‍යාවක වර්ගය විය යුතු බවයි. එතකොට

x2 + (2x-4)2 = 42

=>   x2 + 4x2-16x+16 = 16

=>   5x2 -16x = 0

=>    x(5x-16) = 0

=>   x = 0 හෝ x = 16/5

මෙහි x=0 අවශ්‍ය උත්තරය නෙවෙයි. එය අර කලින් දවසක කිව්වා වගේ Trivial Answer එකක්. ඒ හින්දා අවශ්‍ය උත්තර දෙක වශයෙන්  u=16/5 සහ v=12/5 ලැබෙනවා.  එනම් (16/5)2 + (12/5)2 = 42 . පොතේ පියරේ ඩි ෆර්මා මේ ගැටළුව ළඟින් මෙහෙම සඳහනක් දානවා.

මම ඉතාම අපූර්ව සොයා ගැනීමක් කළා. එනම් ඝනජ සංඛ්‍යාවක් තවත් ඝනජ සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවක් වශයෙන් ලිවිය නොහැකියි. හතරවන බලයක් තවත් හතරවන බල දෙකක එකතුවක් වශයෙන් ලිවිය නොහැකියි. සාධාරණ වශයෙන් කියනවා නම් දෙකෙන් ඉහළ ඕනෑම බලයක් තවත් එම බලයේ සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවක් වශයෙන් ලිවිය නොහැකියි. ඔප්පු කිරීම අන්තර්ගත කිරීමට මෙම ඉඩ ප්‍රමාණවත් නොවේ.

වෙන විදියකින් කියනවා නම් ෆර්මා කියලා තිබ්බේ xn + yn = zn කියන සමීකරණයට බිංදුව නොවන  x, y, z ධන නිඛිල උත්තර නෑ n දෙකට වඩා විශාල ධන නිඛිලයක් වෙන අවස්ථාවට. n=2 වෙන අවස්ථාවට උත්තර තිබෙන බව ඒ වන විටත් ගණිතඥයෝ දැනන් හිටියා. ඒ තමයි පයිතගෝරියානු ත්‍රිත්ව.  උදාහරණයක් විදියට (3,4,5) දක්වන්න පුළුවන්. ඇත්තටම ඉහත විස්තර කළ ඩයිෆන්ටස් ක්‍රමයත් පයිතගෝරියානු ත්‍රිත්ව හොයා ගන්න යොදා ගන්න පුළුවන්.

කාලයත් එක්ක ෆර්මා ඉදිරිපත් කළ අනික් ගැටළු වලට විසඳුම් සොයා ගත්තත් ඉහත ගැටළුව විසඳන්න කාටවත් හැකිවුණේ නෑ. ඒ හින්දා තමයි මෙම ගැටළුව ෆර්මාගේ අවසන් ප්‍රමේයය” [Fermat’s Last Theorem]වශයෙන් ප්‍රසිද්ධ වුණේ.  අවසානයේදී බ්‍රිතාන්‍ය ජාතික ගණිතඥයෙක් වන Andrew Wiles විසින් 1995 දී මෙයට සාධනයක් ඉදිරිපත් කරනවා.

ඇත්තටම මෙම ගැටළුවට ෆර්මා ළඟ සාධනයක් තිබ්බද කියන අදටත් කවුරුත් දන්නේ නැහැ. Andrew Wiles ගේ සාධනය නූතන ගණිත සංකල්ප මත පදනම් වුණු එකක්. ඒ දැනුම ෆර්මා සතුව තිබුණා කියලා හිතන්න අමාරුයි.

තමන්ගේ අධ්‍යයන ප්‍රකාශයට පත් නොකළත් තමන් විසඳූ සමහර ගැටළු ලිපි මඟින් සමකාළීන ගණිතඥයින් වෙත අභියෝග වශයෙන් යවන පුරුද්දක් ෆර්මා ළඟ තිබුණා. ආසන්න වශයෙන් ෆර්මා Arithmaticaකියවපු කාලය වශයෙන් පිළි ගැනෙන්නේ ක්‍රි.ව 1630 යි. මෙයින් පසු n=3 සහ n=4 අවස්ථාවට ඉහත සමීකරණය ඔප්පු කරන්න අනික් ගණිතඥයන්ට යැව්වත් සධාරණ අවස්ථාව ඔප්පු කරන්න කියලා ෆර්මා ඔහු මිය යන තුරුත් කාටවත් කියලා නැහැ.

ඉතින් ඒ හින්දා බොහෝ දෙනා විශ්වාස කරනවා ෆර්මා සතුව මෙයට සාධනයක් තිබුණේ නැහැ කියලා. සමහර විට ඔහු තමන්ගේ සාධනයේ වැරැද්දක් පසුව සොයා ගන්න ඇති. එහෙමත් නැත්නම් ඔප්පු කරන්න පුළුවන් වෙයි කියලා අදහසක් හිතේ තියාගෙන සටහන් ලිව්වත් පසුව ඔහු තේරුම් ගන්න ඇති ඒ ආකාරයෙන් කරන්න බෑ කියලා. හැබැයි ඉතින් මේවා අදහස් විතරයි. හරිම සිද්ධිය කවුරුවත් දන්නෙත් නැහැ. ඉදිරියේදී දැන ගන්න හම්බ වෙයි කියලා හිතන්නත් අමාරුයි.