ඡායාරූපකරණයේ තුනෙන් එකේ නියමයෙන් ඔබ්බට……………Golden Spiral

5 Comments

මීට පෙර ලිපියෙන් කිව්වා වගේ අද ලියන්න යන්නේ ඡායාරූප කලාවේ භාවිතා වන තවත් එක සැකසුම් නියමයක් (Composition Rule) ගැනයි.  ඒ තමයි Golden Spiral කියන එක.  මෙහි ගණිතමය පැහැදිලි කිරීමට නම් ටිකක් විතර ගැඹුරු ගණිත සංකල්ප වගයක් ඕනේ වෙනවා. කොහොම උනත් වැඩේ සම්පූර්ණ වෙන්න ඒකත් ඇතුලත් කරනවා.

Golden Spiral එක පහත (1) න් දැක්වෙන ඝාතීය ශ්‍රිතයෙන් දක්වන්න පුළුවනි. මෙහි a යනු ඕනෑම ධන තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වන අතර b කියන්නේ (2) න් දැක්වෙන තාත්වික නියත අගයයි.

r = ae …………………. (1)

ebπ/2 = φ ……………… (2)

(2) වෙනි සමීකරණයෙන් කියන්නේ කෝණයේ අගය රේඩියන් π/2 වන විට [අංශක වලින් නම් 900 ක් වන විට වල ebπ/2 අගය φ ට සමාන වන පරිදි තියෙන්න ඕනේ කියලයි. φ ගැන කලින් ලිපියේ කිව්වනේ. මෙහි අගය (1+√5)/2 යි. ආසන්න වශයෙන් කිව්වොත් 1.61803398874989… ක් වෙනවා.  දැන් b වල අගය හොයලා බලමු.

(2) න්

ebπ/2 = φ දැන් දෙපසම ස්වභාවික ලඝුගණකය [ln] ගත්තම,

b= ln(φ)/(π/2) => b=0.3063355

a=1 වන විට -2π සහ අතර පරාසයේ මෙම ධ්‍රැවීය සමීකරණය [Polar Equation] ප්‍රස්තාරගත කළාම පහත ආකරයේ එකක් තමයි ලැබෙන්නේ.

θ වල අගය, π/2 හි ගුණාකාරවලදී [එහෙමත් නැත්නම් ප්‍රස්තාරය X අක්ෂය හෝ Y අක්ෂය කැපෙන තැන් වලදී] අගයන් මෙහෙමයි ඒන්නේ.

eb(-2π) ,eb(-3π/2) ,eb(-π) ,eb(-π/2) ,eb(0) ,ebπ/2 ,e , eb3π/2 ,eb2π

දර්ශකයේ පද පොඩ්ඩක් එහා මෙහා කරලා මේ විදියට ලියන්න පුළුවනි.

e-b(π/2)4 , e-b(π/2)3, e-b(π/2)2 , e-b(π/2)1 ,eb(0) , eb(π/2)1, eb(π/2)2 , eb(π/2)3, eb(π/2)4

අපි කලින් දෙවෙනි සමීකරණයෙන් දැක්කා ebπ/2 = φ කියලා. ඒ අගය ආදේශ කළහම මෙහෙම තමයි ශ්‍රිතයේ අගයන් එන්නේ.

Φ-4, Φ-3, Φ-2, Φ-1, Φ0=1, Φ1, Φ2, Φ3, Φ4

φ ආසන්න වශයෙන් 1.618 ආදේශ කළහම මේ අගයන් ටික ගන්න පුළුවන්.

0.146, 0.236, 0.381, 0.618, 1, 1.618, 2, 618, 4.236, 6.853

මේ අගයන් ටිකෙන් තමයි ඉහත ප්‍රස්තාරයේ අක්ෂ කැපිලා තියෙන්නේ.

මේ වක්‍රයට ඉතාම ආසන්න වක්‍රයක් Fibonacci Sequence එකෙන් ලබා ගන්න පුළුවනි.  Fibonacci Sequence එක කියන්නේ මෙන්න මේකයි.

0,1,1,2,3,5,8,13,21, ………………………

0 න් සහ 1 න් පටන් ගන්න මේ ශ්‍රේණියේ අනෙකුත් පද හැදිලා තියෙන්නේ ඊට කලින් පද දෙකේ එකතුවෙන්. මතකනේ මේකට අදාළව ලංකාවේ තියෙන අප්‍රකට ස්මාරකයක් ගැනත් කලින් ලිපියකින් ලිව්වා.  අනන්තයට යද්දී මෙම ශ්‍රේණියේ පද දෙකක් අතර අනුපාතය φ ට අභිසාරී වෙනවා කියලා ඔප්පු කරන්න පුළුවනි. හැබැයි මේකට නම් සීමා [Limits] සම්බන්ධ ගැඹුරු දැනීමක් ඕනේ නිසා මෙම ලිපියේ අන්තර්ගත කරන්නේ නෑ. මේ ශ්‍රේණියේ බිංදුව අමතක කරලා 1,1,2,3,5,8,13,21 එන මේ පද ටික ගනිමු.  දැන් මෙහි එක එක ඉලක්කම අදාළව සමචතුරශ්‍රාකාර හැඩ ඇඳලා පහත විදියට අසුරන්න පුළුවන්. මෙහෙම කරන්න පුළුවන් එක පදයක් ඊට කලින් පද දෙකේ එකතුවට සමාන නිසා විතරයි.

ඊට පස්සේ ඒ සමචතුරස්‍රවල විකර්ණ හරහා රූපයේ දැක්වෙන ව්දියට චාප අඳින්න පුළුවන්. මෙහෙම ලැබෙන වක්‍රය Golden Spiral එකට තරමක් දුරට ආසන්නයි.

දිග කතාන්දරයකින් පස්සේ දැන් මෙය ඡායාරූපකරණයට අදාළ වෙන තැනට එමු. මෙම රීතියෙන් කියන්නේ කිසියම් ඡායරූපයක තිබෙන වක්‍ර රටා Golden Spiral එකකට අනුගත කරන්න කියලායි. උදාහරණයක් වශයෙන් පහත ඡායාරූපය බලන්න.

ආරම්භක කුඩා කොටුව තමන්ට අවශ්‍ය ප්‍රමාණයකින් පටන් ගන්න පුළුවන්. මේ විදියට ඡායරූප crop කරන්න ටිකක් විතර අමාරුයි. මෙම ඡායාරූපය හදන්න සංචාරකයා භාවිතා කළේ කියන PhotoImpact X3 පරිඝනක මෘදුකාංගයේ Trial Version එකකුයි. මෙහි Golden Spiral එකේ ආකරයට crop කරන්න පුළුවන් රාමුවක් [Template] තියෙනවා.  එච්චරම සාර්ථකම උදාහරණයක් නම් නෙවෙයි. අනික් සමචතුරස්‍රවලටත් ගැලපෙන වක්‍ර තිබුණා නම් තමයි හොඳ. අන්තර්ජාලයේ වඩාත් නිවැරදි උදාහරණ ඕනා තරම් සොයා ගන්න පුළුවන්.

ඡායාරූපකරණයේ තුනෙන් එකේ නියමයෙන් ඔබ්බට……………Golden Mean

Leave a comment

‘තුනෙන් එකේ නියමය’ එහෙමත් නැත්නම් ‘Rule of one Thirds‘ කියන්නේ ඡායාරූප ශිල්පයේදී ඉතාම බහුලව භාවිතා වන Composition සිද්ධාන්තයයි.  මේ නියමයෙන් කියන්නේ ඡායාරූපයක් දිග පැත්ත සහ පළල පැත්ත සමාන කොටස් තුනකට බෙදෙන පරිදි සරල රේඛා ඇන්ඳාම ඡේදන ලක්ෂ්‍යවලට ඇස වැඩියෙන් ඇදෙනවා කියන එකයි. ඒ නිසා ඡායාරූපයක වැදගත්ම වස්තූන් ඡේදන ලක්ෂ්‍යවල හරි තුනෙන් එකේ සරල රේඛා වලට හරි අනුගත කරන්න කියලා තමයි කියන්නේ. මේ කියන්න යන්නේ ඒ නියමයට අමතරව ඡායරූප කලාවේදී භාවිතා වන තවත් Composition Rule එකක් වන ‘Golden Mean සහ ඒකට අදාළ ගණිතමය පසුබිමයි.

ඈත අතීතයේ ඉඳලා ගණිතඥයෝ පර්යේෂණ පවත්වන අනුපාතයක් තිබුණා. ඒ තමයි (a+b)/a=(a/b) වන අනුපාතය. මේ අනුපාතය ග්‍රීක φ අක්ෂරයෙන් තමයි දැක්වුවේ.  මේකේ අගය මෙහෙම හොයන්න පුළුවන්.

(a+b)/a= (a/b) = φ

=>  a= φb ………………….. (1)

=>  a+b=φa………………….(2)

(1) න් සහ (2) න්

φb + b=φ(φb)

=> φ2φ-1=0

වර්ග සමීකරණයේ ධන මූලය ගැනීමෙන්  φ=(1+√5)/2 = 1.61803398874989…. කියන අපරිමේය සංඛ්‍යාව ලබා ගන්න පුළුවන්. පුනරුද සමයේ යුරෝපයේදි මෙම අනුපාතයට කලාත්මක වටිනාකමක් ලැබුණා [හැබැයි මීට බොහෝ කාලයකට පෙර ග්‍රීක-රෝම ශිෂ්ටාචාරවලදිත් මෙම අනුපාතය ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පයේදි යොදා ගත් බවට සාක්ෂ්‍ය තියෙනවා.]. බොහෝ චිත්‍ර ශිල්පීන් සහ ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පීන් මෙම අනුපාතය තමන්ගේ නිර්මාණ වලට යොදා ගත්තා.  හේතුව උනේ යම් සෘජුකෝණශ්‍රයක දිග සහ පළල අතර අනුපාතය වන විට එය අනික් සෘජුකෝණශ්‍ර වලට වඩා ඇසට ප්‍රියමනාප වීමයි.

දැන් මේක ඡායාරූප කලාවට අදාළ වෙන තැනට එමු. ‘Golden Meanනියමයෙන් කියන්නේ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඡායරූපයක දිග පැත්ත සහ පළල පැත්ත φ අනුපාතයට බෙදන රේඛා ඇන්ඳාම ඡේදන ලක්ෂ්‍යවලට හරි තිරස්, සිරස් රේඛාවලට හරි ඡායාරූපයේ වැදගත්ම වස්තූන් අනුගත කරන්න කියන එකයි.  උදාහරණයක් වශයෙන් පහත ඡායාරූපය බලන්න.

මෙම ජාලය [Grid] ඡායාරූපයක් ගනිද්දී හිතින් මවා ගන්න ටිකක් අමාරු එකක්. ඒ නිසාම කතාවක් තියෙනවා මෙම ප්‍රායෝගික අපහසුතාවය නිසා තමයි ‘One Third Rule’ එක ජනප්‍රිය උනේ කියලා. පහසුම ක්‍රමය තමයි ඡායාරූපය අරගෙන නියමයට අදාළ විදියට crop කරන එක.

මේ හා සබැඳෙන තවත් නියම දෙකක් වන ‘Golden Spiralසහ ‘Golden Triangleගැන ඉදිරි ලිපියකදී ලියන්න බලාපොරොත්තු වෙනවා.

අවසාන වශයෙන් කියන්න ඕනේ නියමයන් දැන ගත්තට හැම ඡායාරූපයටම එවා භාවිතා කරන එක අත්‍යවශ්‍ය නෑ. නියමයන්ගෙන් පිට යන විශිෂ්ට ඡායාරූප ඕනේ තරම් තියෙනවා. ලෝකයේ මෙතෙක් බිහි වූ ශ්‍රේෂ්ඨ ඡායාරූප ශිල්පියෙක් වන ‘Ansel Adams’  වරක් මෙසේ පැවසුවා.

“There are no rules for good photographs, there are only good photographs.”


සඳ ගමනේ සංවත්සරේ

3 Comments

මිනිසා හඳට ගිහිල්ලා කියලා දැන් අවුරුදු 41ක් වෙනවනේ. ‘ගිහිල්ලා කියලා’ කිව්වේ සමහරු කියනවනේ ඇත්තටම මිනිස්සු හඳට ගියේ නෑ, ඒක මවා පෙන්වීමක් විතරයි කියලා. කොයික වෙතත් කියන්න යන්නේ සඳ තරණය සම්බන්ධයෙන් පොඩි කාලේ අහලා තියෙන කතාවක්.

ඇත්තටම හඳට යන්න අමරිකානුවන් සහ රුසියානුවන් අතර තිබ්බේ තරඟයක්. මේ තරඟයේදි ගොඩක් වෙලාවට ඉදිරියෙන් හිටියේ රුසියානුවන්. හැබැයි අවසානයේ තරඟය දින්නේ අමරිකානුවන්. කතන්දරෙන් කිව්වේ අමෙරිකානුවන් විසඳන්න බැරි ගණිත ගැටලුවක් රුසියානු විද්‍යාඥයන් අතර පැතිරෙව්වාලු. රුසියානුවෝ එක විසඳන්න සම්පත් යොදවද්දි අමෙරිකානුවෝ හඳට ගියා කියලයි කියන්නේ.සමහර කෙනෙකුට මේක කිසිම ප්‍රායෝගිකත්වයක් නැති කතාවක් කියලත් කියන්න පුළුවන්.

කොහොම වෙතත් ඒ හා සම්බන්ධව කියපු ගණිත ගැටළුව නම් ඒ කාලෙ සංචාරකයාගෙ හිත් ඇද ගත්තා. මේ  ලිපිය ලියන්න ගැටළුව මතකයට නඟා ගන්න උත්සාහ කලත් හරි ගියේ නෑ.  අන්තර්ජාලයේවත් ඒ ගැන සඳහනක් තිබ්බේත් නෑ. හැබැයි අන්තර්ජාලය පීරාගෙන යද්දි හම්බ වෙච්ච’ Collatz conjecture’ කියන එක තමයි ඒ ගැටළුව කියලා සංචාරකයාට 50% වඩා වැඩි විශ්වාසයකින් කියන්න පුළුවන්.

මේ ගැටළුව නම හරිම සරල එකක්. හැබැයි තාම කිසිම කෙනෙකුට පුළුවන් වෙලා නෑ විධිමත් සාධනයක් ඉදිරිපත් කරන්න.

මේකෙදි කියන්නේ ඕනෑම ධන නිඛිලයක්[ n කියමු] අරන් ඒක ඔත්තේ නම් 3n+1 ගන්න, ඉරට්ටේ නම් n/2 ගන්න. මෙහෙම දිගටම කර ගෙන යද්දි කොයි වෙලේ හරි එකෙන් අවසන් වෙනවා කියලා තමයි ජර්මන් ජාතික ගණිතඥයෙක් වන Lothar Collatz කිව්වේ.

උදා:- 11 ගනිමු

11->34->17->52->26->13->40->20->10->5->16->8->4->2->1

ඔනෑම ධන නිඛිලයකට අදාල මේ පෙළ ගැස්ම අද සරල පරිඝනක ක්‍රමලේඛනයක් මඟින් ගොඩ නඟන්න පුළුවන්.

ප.ලි: ඡායාරූපයෙන් දැක්වෙන්නේ කුරුණෑගල ආඳාගල. මෙහි ඉහළ දකුණු කෙරවළේ තියෙන පඩිපෙලක ආකාරයේ අකෘතියටත් ගණිතමය වැදගත්කමක් තියෙනවා.  මෙහි එක් එක් පඩියේ උස තියෙන්නේ ගණිතයේ මෙන්ම තවත් ක්ෂේත්‍ර ගණනාවක වැදගත්කමක් තියෙන Fibonacci ශ්‍රේණියක.  මේක නිර්මාණය කරලා තියෙන්නේ ඕස්ට්‍රේලියානු ජාතික Andrew Rogers කියන ශිල්පියා.  ඇයි මේක මෙතන නිර්මාණය කරලා තියෙන්නේ කියලා නම් සංචාරකයා දන්නේ නෑ.  මේ ගැන Andrew Rogers ගේ සටහන ඔහුගේ වෙබ් සයිට් එකේන් ගන්න පුළුවන්.

http://www.andrewrogers.org/land-art/sri-lanka/ascend/