මතක ප්‍රථමක මතක

2 Comments

ප්‍රථමක සංඛ්‍යා තරම් ගණිත ලෝකයේ කතාබහට ලක්වුණු ඉලක්කම් වර්ගයක් තවත් නැතුව ඇති. ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ගැන ලියන්න බොහෝ කරුණු තියෙනවා. මේ ලිපියෙන් ලියන්න යන්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා සම්බධයෙන් එන සුප්‍රසිද්ධ අනුමිතින් දෙකක් ගැනයි.

පහේ ශිෂ්‍යත්ව පංතිවලදී ඉගෙන ගත්තා මතක ඇතිනේ එක හැරුණු කොට අනික් ඕනෑම ඉලක්කමක් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා එකක හෝ කිහිපයක් ගුණිතයක් විදියට ලියන්න පුළුවන් බව. හැබැයි මේකට අංක ගණිතයේ මූලික සිද්ධාන්තය [Fundamental Theorem of Arithmetic] කියලා කියනවා කියලා සංචාරකයා දැන ගත්තේ පාසල් ජීවිතයත් හමාර වුණාට පස්සේ. මෙහි සාධනය මුලින්ම යුක්ලිඩ් විසින් ඉදිරිපත් කරලා තියෙනවා. වඩාත් නිවැරදි සාධනයක් පසු කාලීනව ෆෙඩ්‍රරික් ගවුස් විසින් ගොඩ නඟලා තියෙනවා. ඊළඟට කියන්න තියෙන්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා අනන්ත සංඛ්‍යාවක් තියෙනවා කියන එකයි. මේකටත් බොහොම අපූරු සරල සාධනයක් ඉදිරිපත් කරල තියෙනවා යුක්ලිඩ්. දැන් ලියනවා කියපු අනුමිතින් දෙකට එමුකෝ.

පළමු අනුමිතිය තමයි, නිවුන් ප්‍රථමක අනන්ත සංඛ්‍යාවක් තියෙනවා කියන එක (Twin Prime Conjecture). නිවුන් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කියලා කියන්නේ වෙනස 2ක් වෙන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වලටයි.

උදාහරණයක් විදියට 3 සහ 5 දැක්විය හැකියි.

වඩාත් විශාල උදාහරණයකට යනවා නම් 7877 සහ 7879 දැක්විය හැකියි.

ඊටත් වඩා විශාල උදාහරණයකට යනවා නම් 15485651 සහ 15485653 දැක්විය හැකියි.

මේ විදියට තමන්ට කැමති තරම් විශාල නිවුන් ප්‍රථමක යුගල හොයා  ගන්න පුළුවන්. පරිඝනක ඇසුරින් මෙසේ අවශ්‍ය තරම් විශාල ප්‍රථමක යුගල සොයා ගන්න පුළුවන් වුණාට මෙවැනි යුගල අනන්තයක් තියෙනවා කියලා තාම ගණිතමය සාධනයක් ඉදිරිපත් වෙලා නෑ. මේක මුලින්ම ඉදිරිපත් කළේ කව්ද කියන එක නම් ට්කක් විවාදාපන්නයි. සංචාරකයා ඒ ගැන කියන්න වැඩිය දන්නේ නැති නිසා මෙහි ලියන්නේ නෑ.

දෙවෙනි අනුමිතිය තමයි  Goldbach’s conjecture කියන එක. මෙයින් කියන්නේ ඕනෑම ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවක් [2 හැර] ප්‍රථමක සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවක් විදියට ලියන්න පුළුවන් කියලයි.

උදාහරණ විදියට

24=23+2

100=47+53

100000= 1103+98897

මෙය මුලින්ම ලොවට ඉදිරිපත් කරලා තියෙන්නේ ජර්මානු ජාතික ගණිතඥයෙක් වන Christian Goldbach. හැබැයි මුල් ඉදිරිපත් කිරීම නම් ටිකක් විතර වෙනස්, මොකද ඒ කාලේ 1ත් ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් විදියෙට ගණන් අරගෙන තියෙන නිසා.

ප.ලි: කළින් දවසක් ලියපු සිප ගන්න වෘත්ත ලිපිය මතක ඇතිනේ. ඒ ලිපිය ලියද්දී එහෙම සැකසූ වෘත්ත ඇසුරෙන් රටාවක් දාන්න හිතන් හිටියත් කාල වෙලාව මදි නිසා කර ගන්න පුළුවන් වුණේ නැහැ. Mathematica එක්ක පොඩ්ඩක් ඔට්ටු වෙලා එකක් හදා ගත්තා. ඒක තමයි මේ පහතින් තියෙන්නේ.


සිප ගන්නා වෘත්ත

1 Comment

මාතෘකාව දැක්කාම කළබල වෙන්න එපා, සංචාරකයා ලියන්න යන්නේ 18+ දෙයක් නම් නෙවේ. අද ලිපියෙන් කියන්න යන්නේ ගණිතයේ එන තවත් අපූරු ගොඩනැංවීමක් ගැනයි.  මෙය Apollonian gasket, Apollonian net, Kissing Circles, Soddy Circles ආදී වශයෙන් නම් කිහිපයකින් හැඳින්වෙනවා.

මෙයින් කියන්නේ එකක් අනෙක් දෙක සමඟ ස්පර්ශ වෙන ආකාරයෙන් පිහිටලා තියෙන වෘත්ත තුනක් තියෙනවා නම් එම වෘත්ත තුනම (C1,C2,C3 කියමු) ස්පර්ශ වන ආකාරයේ අළුත් වෘත්ත දෙකක් ගොඩ නඟන්න පුළුවනි කියලයි.  මෙය Apollonian gasket වශයෙන් නම් කරලා තියෙන්නේ සුප්‍රසිද්ධ ග්‍රීක ගණිතඥයෙක් වන ඇපලෝනියස්ට ගරු කිරීමක් වශයෙන්. හේතුව වන්නේ මොහු මීට ආසන්න තවත් නියමයක් සොයා ගැනීමයි. එම නියමයෙන් කියන්නේ දෙන ලද තලයක අඳින ලද වෘත්ත තුනක් [එකිනෙක ස්පර්ශ වීම අත්‍යවශ්‍ය නොවේ] තිබේ නම්, එම වෘත්ත තුනම ස්පර්ශ කරමින් උපරිම වශයෙන් තවත් වෘත්ත 8ක් ගොඩ නඟන්න පුළුවන් කියලයි.  කොහොමින් හරි අපි කතා කරන්න යන සංකල්පය René Descartes සහ Frederick Soddy කියන ගණිතඥයින් දෙදෙනා විසින් අවස්ථා දෙකකදී ඉදිරිපත් කරලා තියෙනවා.

දැන් මේ වෘත්ත දෙක ගොඩ නඟා ගන්නා ආකාරය බලමු.  C1, C2 සහ C3 කියන වෘත්ත තුනේ අරයන් පිළිවෙලින් r1, r2 සහ r3 යයි සිතමු. ඊට පස්සේ තව පුංචි දෙයක් ඕනේ වෙනවා. ඒ තමයි වෘත්තයක වක්‍රතාවය (curvature) කියන එක. වෘත්තයක වක්‍රතාව කියලා අර්ථ දක්වන්නේ වෘත්තයේ අරයේ පරස්පරයට (reciprocal). එතකොට C1, C2 සහ C3 කියන වෘත්ත තුනේ වක්‍රතාවයන් k1,k2 සහ k3 නම් k1=1/r1, k2=1/r2 සහ  k3=1/r3 වෙනවා. අලුත් වෘත්තයේ වක්‍රතාවය k4 නම් ඒක පහත සමීකරණයෙන් ගන්න පුළුවනි.

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√ (k1k2 + k2k3 + k3k1) ……………….. (1)

මතකයිනේ කලින් කිව්වා වෘත්ත දෙකක් තියෙනවා කියලා. ඒකයි k4 ට අගයන් දෙකක් තියෙන්නේ. අළුත් වෘත්ත දෙකේ වක්‍රතාවයන් දන්න නිසා දැන් අරයන් දෙක හොයා ගන්න පුළුවනි.  හැබැයි වෘත්ත දෙක අඳින්න නම් අරය විතරක් දැන ගත්තට මදි. කේන්ද්‍රය පිහිටලා තියෙන තැනත් හොයා ගන්න ඕනේ.  ඒකට තමයි පහතින් දැක්වෙන දෙවෙනි සමීකරණය තියෙන්නේ.

z4 = [z1k1 + z2k2 + z3k3 ± 2√ (k1k2z1z2+ k2k3 z2z3+ k3k1 z3z1)] /k4 ……….. (2)

මෙහි වලින් zi දක්වෙන්නේ එක් එක් වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛංඩාණ්ක සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් විදියට. උදාහරණයක් විදියට කියන වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛංඩාණ්ක (1,2) නම් z1 කියන්නේ  (1+2i) යි.  මෙම සංකල්පය තවත් පැහැදිලි කර ගන්න දැන් උදාහරණයක් අරන් බලමු.

මෙතනදි මම පහසුව තකා අරය ඒකක 1ක් වෙන වෘත්ත තුනක් අරන් තියෙනවා. C1, C2 ඇන්ඳායින් පස්සේ C3 අඳින්න පොඩි ගණනය කිරීමක් කරන්න වෙනවා [පොඩ්ඩක් හිතලා බලන්න C3 වල X ඛංඩාණ්කය 2cos (30) =1.732 ක් වෙනවා].

දැන් සහ සමීකරණ විසඳන්න අවශ්‍ය දත්ත ටික සකසා ගම්මු. r1=r2=r3=1 නිසා k1=k2=k3=1 වෙනවා. කේන්ද්‍රවල ඛංඩාණ්ක වලට අනුව z1=(0+i)=i, z2=(0-i)=-i සහ z3=(1.732+0i)=1.732 වෙනවා. (1) ට සහ (2) ට ආදේශ කළ විට,

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√ (k1k2 + k2k3 + k3k1)

= 1+1+1± 2√(1+1+1)

= 3± 2√(3)

=>  k4 = 6.6461 හෝ k4= -0.4641 [වක්‍රතාවයට සෘණ අගය ලැබෙන්නේ පිටතින් ස්පර්ශ කරන වෘත්තයටයි.]

=>   r4=0.1547 (1/6.6461) හෝ r4=2.1547 (1/0.4641)


z4 = [z1k1 + z2k2 + z3k3 ± 2√ (k1k2z1z2+ k2k3 z2z3+ k3k1 z3z1)] /k4

= [i -i + 1.732 ± 2√ (-i2-1.732i+ 1.732i)] /k4

= [1.732 ± 2√(1)] /k4

= [1.732 ± 2√(1)] /k4

k4 = 6.6461 විට z4= 0.5773+0i

k4 = -0.4641 විට z4= 0.5773+0i

එතකොට අවශ්‍ය වෘත්ත දෙක වන්නේ කේන්ද්‍රය (0.5773,0) හි පිහිටා තිබෙන අරය 0.1547 ක් වන වෘත්තය සහ කේන්ද්‍රය (0.5773,0) හි පිහිටා තිබෙන අරය  2.1547 ක්  වන වෘත්තයයි. මෙහිදී වෘත්ත දෙකේ කේන්ද්‍ර සමාන උනාට හැම විටම එහෙම වෙන්නේ නෑ. එහෙම උනේ මූලික වෘත්ත සැකසුම සමමිතික වීම නිසයි.

මේ විදියට දිගටම කරගෙන ගියාම ඉතාමත් සුන්දර වෘත්ත රටාවන් හදා ගන්න පුළුවනි. අන්තර්ජාලයේ Apollonian gasket කියලා සෙව්වොත් මෙම සංකල්පය ඇසුරෙන් සැකසූ ඉතාමත් නිර්මාණාත්මක රූප සටහන් හොයා ගතහැකි.